Blockdit Logo (Mobile)
อาจวรงค์ จันทมาศ
•
8 พ.ย. 2018 เวลา 01:04
ค่าพายคืออะไร? และสำคัญอย่างไร?
หลายคนอาจไม่รู้ว่า ค่าพาย π ที่เราเรียนในวิชาคณิตศาสตร์นั้นมาจากไหน?
บางคนอาจจำได้ว่าลางๆค่าพายจะโผล่มาตอนเราหาเส้นรอบวงกลม หรือพื้นที่วงกลม
และหลายคนท่องกันว่าพายมีค่าประมาณ 22/7 หรือ 3.14
แต่หากมองให้ลึกซึ้งจะพบว่าค่าพายนั้นเป็นเลขที่มนุษย์เราให้ความสนใจมาช้านานและอาจมีความเชื่อมโยงกับความจริงบางอย่างของเอกภพ
หากเราวาดวงกลมขึ้นมาสักวงหนึ่ง แล้วนำเส้นรอบวงมาหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง เราจะได้เลขตัวหนึ่งซึ่งมีค่าเท่าเดิมเสมอ ไม่ว่าวงกลมจะใหญ่หรือเล็ก เลขตัวนี้ คือค่า พาย นั่นเอง
ค่าพายจึงนิยามได้ว่า เส้นรอบวงกลมหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมนั้น
คำถามที่เกิดขึ้นมาตั้งแต่สมัยโบราณคือ ค่าพายนั้นมีค่าเท่าไรกันแน่
1
ราว 1,650 ปีก่อนคริสตกาล ชาวอียิปต์โบราณประมาณค่าพายไว้ราวๆ 3.16 ซึ่งนับว่าน่าทึ่งสำหรับมนุษย์เมื่อหลายพันปีก่อน แต่เมื่อ 250 ปีก่อนคริสตกาล ผู้ที่หาค่าพายได้อย่างละเอียดด้วยวิธีที่น่าสนใจที่สุดคือ อาร์คิมิดีส (Archimedes) อัจฉริยะแห่งกรีกโบราณ ผู้ค้นพบหลักแห่งแรงลอยตัว ในขณะที่กำลังนอนแช่อยู่ในอ่างอาบน้ำจนถึงกับลืมตัววิ่งผลุนผลันตะโกนคำว่า “ยูเรก้า”
นอกจากนี้เขายังประดิษญ์สกรูแบบ อาร์คิมิดีส (Archimedes' screw)ที่ใช้ในการผันน้ำจากที่ต่ำมายังที่สูงเพื่อการเกษตรและชลประทาน, ค้นพบหลักการทำงานของคาน และประดิษฐ์อุปกรณ์ล้ำสมัยอื่นๆอีกมากมาย
1
เมื่อเราวาดวงกลมขึ้นมา เราสามารถรู้เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมที่ชัดเจนได้ไม่ยากเพราะมันเป็นเส้นตรง แต่การจะหาเส้นรอบวงกลมนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายซึ่งนั่นเป็นปัญหาในการหาค่าพาย
ดังนั้นหากรู้เส้นรอบวงที่ชัดเจน ย่อมหาค่าพายได้อย่างแม่นยำ
อาร์คิมิดีสพยายามหาเส้นรอบกวงด้วยการวาดหกเหลี่ยมไว้ในวงกลม
เมื่อเรารู้เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม เราจะหาได้ว่าเส้นรอบรูปหกเหลี่ยมมีค่าเท่าไหร่ จากนั้น เพื่อให้เข้าใกล้ค่าเส้นรอบวงที่แม่นยำขึ้น อาร์คิมิดีส วาดเส้นสีแดงให้มุมอยู่ที่ขอบหกเหลี่ยมดังรูป
2
ทำให้เขาได้รูปสิบสองเหลี่ยมในวงกลม และเมื่อหาเส้นรอบรูปสิบสองเหลี่ยมจะได้ค่าที่ใกล้เคียงกับเส้นรอบวงกลมมากขึ้น
เชื่อไหมว่า อาร์คิมิดิสทำแบบนี้ไปเรื่อยๆจนไปถึง 96 เหลี่ยมในวงกลม! ซึ่งถ้ามองด้วยตาเปล่าจะเห็นว่า 96 เหลี่ยมนั้นแทบจะเหมือนกับวงกลมไปแล้ว
อย่างไรก็ตาม เส้นรอบรูป 96 เหลี่ยมนั้นย่อมน้อยกว่าเส้นรอบวงของวงกลมอยู่เล็กน้อยมากๆ
 
จากนั้นอาร์คิมิดีสใช้วิธีเดียวกันนี้ แต่วาดรูปหกเหลี่ยมไว้นอกวงกลม แล้วค่อยๆเพิ่มเหลี่ยมเข้าไปมากขึ้นๆจนได้ 96 เหลี่ยมที่ล้อมรอบวงกลมไว้
ผลที่ได้คือเขาประมาณค่าพายได้ในช่วง 223/71 < π < 22/7 ซึ่งเรามักจะใช้ค่า 22/7 ในการประมาณค่าพาย
ต่อมาในปี ค.ศ. 1706 William Jones นักคณิตศาสตร์แห่งประเทศเวลส์ผู้เป็นสหายของเซอร์ไอแซค นิวตัน และ เอ็ดมันด์ ฮัลเลย์ เสนอให้เรียกอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงและเส้นผ่านศูนย์กลางว่าค่า พาย π ซึ่งใช้กันมาจนถึงทุกวันนี้ และในปี ค.ศ. 1761 Johann Heinrich Lambert อัจฉริยะรอบด้านชาวสวิสพิสูจน์ได้เป็นครั้งแรกว่าค่าพายนั้นเป็นจำนวนอตรรกยะ กล่าวคือ มันจะเป็นทศนิยมไม่รู้จบที่ไม่กลับมาซ้ำตัวเองเลย!
นักคณิตศาสตร์นั้นหลงใหลในค่าพาย จึงพยายามศึกษามันจนค้นพบสูตรที่ใช้แสดงค่าพายมากมาย
ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนหนึ่งของโลกพยายามแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์อย่างจนได้สูตร
ซึ่งมีประโยชน์ในการหาค่าพายทศนิยมตำแหน่งหลังๆ
นอกจากนี้ยังมีสูตรอื่นๆที่น่าสนใจและสวยงามอีกหลายสูตร เช่น
ค้นพบในปี ค.ศ. 1593 โดย François Viète นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส
แถมให้อีกสูตร
ค้นพบโดย John Wallis นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ
การพิสูจน์เกี่ยวกับค่าพายที่น่าสนใจจริงๆเกิดขึ้นในปี ค.ศ. 1882 โดย Ferdinand Lindeman นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้พิสูจน์ได้ว่า พาย เป็นจำนวนอดิศัย (transcendental number) ซึ่งหมายถึงจำนวนที่ไม่มีทางเป็นคำตอบของสมการพหุนามได้
สมการพหุนามหมายถึงสมการที่เราเขียนในรูปสัมประสิทธิ์ของ x ยกกำลังค่าต่างๆแล้วมาบวกกัน เช่น
ผลลัพธ์ของการพิสูจน์ว่าพายเป็นจำนวนอดิศัยนั้นสำคัญมากเพราะมันทำให้นักคณิตศาสตร์ตอบคำถามที่ค้างคามาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ ราว 500 ปีก่อนคริสตกาลได้
มันคือ ปัญหาที่เรียกว่า Squaring the circle ซึ่งถามว่า
ถ้าเราวาดวงกลมขึ้นมาวงหนึ่ง เราจะวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่าวงกลม ด้วยการใช้แค่วงเวียนและไม้บรรทัดได้หรือไม่?
ปัญหานี้ค้างคาในโลกคณิตศาสตร์มานานนับพันปี จนมีการพิสูจน์ได้ว่าพายเป็นจำนวนอดิศัยซึ่งผลจากการพิสูจน์นี้ทำให้ปัญหา Squaring the circle ได้รับการพิสูจน์ไปด้วยว่า "เป็นไปไม่ได้”
เรื่องน่าสนใจของค่าพายยังไม่จบเพียงเท่านี้
แม้ทุกคนจะรู้แล้วว่าค่าพายนั้นเป็นทศนิยมไม่รู้จบ
แต่นักคณิตศาสตร์จำนวนมากพยายามไล่ล่าค่าพายด้วยการควานหาทศนิยมให้มากที่สุดเพื่อให้เข้าใกล้ค่าพายที่แท้จริงที่สุดเท่าที่มากเป็นไปได้
ครั้งหน้าผมจะเล่าเรื่องของชายผู้พยายามหาค่าพายทั้งชีวิตให้ฟังครับ
โฆษณา