Blockdit Logo (Mobile)
อาจวรงค์ จันทมาศ
•
20 ธ.ค. 2018 เวลา 08:57 • วิทยาศาสตร์ & เทคโนโลยี
ยูคลิด ผู้สร้างโลกที่เส้นขนานไม่มีวันบรรจบกัน
เรขาคณิต (Geometry) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการศึกษาคุณสมบัติตลอดจนองค์ประกอบของรูปร่างรูปทรงต่างๆ รวมทั้งวิธีการสร้างรูปร่างรูปทรงต่างๆขึ้นมา
ผู้ที่วางรากฐานวิชาเรขาคณิตขึ้นมาอย่างเป็นระบบคือ ยูคลิด (Euclid) นักคณิตศาสตร์ยุคกรีกโบราณผู้มีชีวิตอยู่ในช่วงสามร้อยปีก่อนคริสตกาล
ผลงานที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและมีชื่อเสียงที่สุดของเขาคือ ชุดหนังสือ Elements ซึ่งประกอบไปด้วยหนังสือ 13 เล่ม แต่ละเล่มมีเนื้อหาที่แตกต่างกันไป แต่ส่วนมากเป็นเรื่องของเรขาคณิต
1
หลักฐานทางประวัติศาสตร์จะบ่ง ชี้ว่าเนื้อหาในหนังสือ Elements ส่วนมากเป็นการรวบรวมผลงานของนักคณิตศาสตร์ยุคก่อนหน้า แต่พลังแห่งการรวบรวมมาจัดระบบระเบียบและเรียบเรียงเนื้อหาไว้อย่างครบถ้วนทำให้ Element กลายเป็นสุดยอดผลงานแห่งยุคสมัย
หนังสือชุดนี้ได้รับการแปลเป็นภาษาต่างๆมากมายและได้รับการพิมพ์มาแล้วเกินกว่า 1,000 ครั้ง ถูกใช้เป็นหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ยุโรปฝั่งตะวันตกนานนับพันปี!
กาลิเลโอ กาลิเลอี , โยฮันเนส เคปเลอร์ จนถึง เซอร์ไอแซค นิวตัน ล้วนได้รับอิทธิพลและใช้คณิตศาสตร์จากจากหนังสือ Elements ในการคำนวณทางฟิสิกส์และดาราศาสตร์มาแบบเต็มๆ
ทฤษฎีบทต่างๆทางเรขาคณิตที่ซับซ้อน(ที่เราเรียนกัน)ถูกสร้างขึ้นจากกฎพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า สัจพจน์ (postulate) 5 ข้อของยูคลิด โดยสัจพจน์นั้นเป็นสิ่งที่มีความชัดเจนมากจนไม่ต้องการสิ่งใดมาพิสูจน์ความถูกต้องของตัวมัน
1
1. เราสามารถสร้างส่วนของเส้นตรงได้จากการลากเส้นเชื่อมระหว่างจุดสองจุด
2. ส่วนของเส้นตรงถูกลากให้ยาวขึ้นอย่างไร้ที่สิ้นสุดเป็นเส้นตรงได้
3. ส่วนของเส้นตรงใช้นิยามวงกลมได้โดยความยาวของมันเป็นรัศมี และปลายด้านหนึ่งอยู่ที่จุดศูนย์กลางวงกลม
4. ทุกๆมุมฉากล้วนไม่แตกต่างกัน
5. เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดส่วนของเส้นตรงสองเส้น ถ้าผลรวมของมุมด้านหนึ่งน้อยกว่าสองมุมฉากแล้ว ถ้าเราต่อความยาวส่วนของเส้นตรงด้านนั้นออกไปเรื่อยๆจะพบว่ามันจะตัดกันเสมอ
สัจพจน์ข้อที่ 5 นี้อาจจะเข้าใจยากสักหน่อย แต่ผลของมันทำให้เกิดแนวคิดเรื่อง เส้นขนาน
หากคิดตามสัจพจน์ข้อนี้จะพบว่า ถ้าเรามีส่วนของเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกัน แล้วเราลากเส้นตรงเส้นที่สามตัดจะพบว่ามุมสองมุมที่อยู่บนด้านเดียวกันรวมกันได้ สองมุมฉากเสมอ โดยเส้นที่ขนานกันนั้น ไม่ว่าจะต่อความยาวเส้นตรงออกไปไกลแค่ไหนก็ไม่มีทางมาตัดกันได้
สัจพจน์ข้อนี้เองที่กลายเป็นปัญหาให้กับนักคณิตศาสตร์ในยุคต่อๆมาเพราะนักคณิตศาสตร์จำนวนมากรู้สึกว่ามันไม่ได้ชัดเจนและเรียบง่ายเหมือนสัจพจน์ 4 ข้อก่อนหน้า
นักคณิตศาสตร์ยุคต่อๆมาจึงพยายามสร้างสัจพจน์ข้อที่ 5 ขึ้นด้วยสัจพจน์ทั้ง 4 ข้อก่อนหน้า แต่ก็ยังไม่มีใครทำได้สำเร็จ
อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ในยุคหลังๆทดลองสร้างระบบเรขาคณิตที่สัจพจน์ข้อที่ 5 ของยุคลิดไม่เป็นจริงขึ้นมา เรียกว่า เรขาคณิตนอกระบบยูคลิด (Non-Euclidean geometry)
เรขาคณิตนอกระบบยูคลิดนี้สามารถใช้อธิบายสมบัติของที่ว่าง(space)ในเอกภพของเราได้กว้างกว่าเรขาคณิตแบบยูคลิดที่มองว่าที่ว่างมีความราบเรียบเหมือนแผ่นกระดาษ
หากที่ว่างมีความโค้งแบบผิวทรงกลม เส้นตรงสองเส้นที่ขนานกันจะวิ่งไปตัดกันได้
ในเอกภพแบบนี้ มุมภายในสามเหลี่ยมจะรวมกันได้มากกว่า 180 องศา
แต่ถ้าที่ว่างมีความโค้งเป็นรูปอานม้า เส้นตรงสองเส้นที่ขนานกันจะวิ่งห่างกันมากขึ้นเรื่อยๆได้
ในเอกภพแบบนี้ มุมภายในสามเหลี่ยมจะรวมกันได้น้อยกว่า 180 องศา
แม้ว่าปัจจุบันนักเอกภพวิทยาจะพบว่าเอกภพของเราเมื่อมองในระดับภาพรวมแล้วนั้นราบเรียบ แต่เรขาคณิตนอกระบบยูคลิดทำให้เราตั้งคำถามไปได้ไกลกว่าเดิม เช่น เหตุใดเอกภพของเราจึงราบเรียบ , หากเราอาศัยอยู่ในเอกภพที่มีความโค้งแบบอื่นจะเป็นอย่างไร ฯลฯ
งานวิจัยทางฟิสิกส์เชิงทฤษฎีทุกวันนี้ มีการสร้างแบบจำลองเอกภพที่ความโค้งแบบต่างๆเพื่อศึกษาและทำความเข้าใจผลจากสนามความโน้มถ่วงที่ทำให้ที่ว่างรอบๆมวลสารเกิดความโค้ง รวมทั้งที่ว่างในระบบอื่นๆก็อาจแสดงผลของความโค้งลักษณะต่างๆออกมาได้
2
เรขาคณิตเป็นโลกคณิตศาสตร์ใบหนึ่งที่แสนจะกว้างใหญ่
แต่ยังมีโลกคณิตศาสตร์อีกใบหนึ่งที่กว้างใหญ่ไม่แพ้กัน นั่นคือ พีชคณิต (Algebra) ที่เราเรียนเรื่องการแก้สมการซึ่งผมจะพาไปรู้จักกับบุคคลสำคัญสองคนผู้มีอิทธิพลต่อวิชาพีชคณิตอย่างยิ่งครับ
อ้างอิง
A Brief History of Mathematical Thought: Key concepts and where they come from
โฆษณา