กำเนิดค่า e
ดอกเบี้ยที่จ่ายถี่ยิ่งกว่าทุกลมหายใจ
เวลาเรียนคณิตศาสตร์ ค่าคงที่ e เป็นหนึ่งในค่าคงที่ที่ปรากฏขึ้นมาบ่อยมาก แต่น้อยคนจะรู้ว่ามันมีที่มาอย่างไรและมีสมบัติน่าสนใจอะไรบ้าง
นักคณิตศาสตร์เริ่มระแคะระคายและเข้าใกล้ค่า e มาตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 17 แล้ว แต่การค้นพบค่า e จริงๆเกิดขึ้นโดย เจคอบ แบร์นูลลี(Jacob Bernoulli)นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสแห่งตระกูลแบร์นูลลีที่เต็มไปด้วยอัจฉริยะ* โดยเขาค้นพบในปี ค.ศ. 1683 เมื่อเขาพยายามไขปริศนาเรื่องดอกเบี้ย
สมมติว่าธนาคารแห่งหนึ่งจ่ายดอกเบี้ยให้เรา 100 % ทุกปี(โคตรเยอะ)โดยจะจ่ายให้ปีละ 1 ครั้ง นั่นหมายความว่าหากเราฝากเงินไว้ในธนาคารนี้ 1 บาท พอถึงปลายปีธนาคารจะจ่ายดอกเบี้ยให้เรา 1 บาท ทำให้รวมแล้วเรามีเงินทั้งหมด 2 บาท
เอาใหม่...
ถ้าเราฝากเงิน 1 บาทเท่าเดิม แต่ธนาคารแห่งนี้เปลี่ยนนโยบายในการจ่ายดอกเบี้ย โดยจ่ายดอกเบี้ยให้เราปีละ 2 ครั้ง ทุกๆครึ่งปีล่ะ จะเกิดอะไรขึ้น?
คำตอบคือ พอครึ่งปี ธนาคารจะจ่ายเงินให้เรา 0.50 บาท ทำให้เรามีเงินในบัญชี 1.50 บาท
และเมื่อครบ 1 ปี ธนาคารจะคำนวณดอกเบี้ยให้จากยอด 1.50 บาท ดังนั้นดอกเบี้ยที่จ่ายตอนสิ้นปีย่อมเป็น 0.50 + 0.25 = 0.75 บาท ทำให้เรามีเงินในบัญชีตอนสิ้นปี 2.25 บาท
สรุปคือ ยิ่งธนาคารจ่ายเอกเบี้ยให้เราถี่ขึ้น เงินสะสมที่ได้ตอนปลายปีย่อมมากขึ้นอย่างแน่นอน
คำถามที่ เจคอบ แบร์นูลลี ขบคิดคือ ถ้าธนาคารจ่ายดอกเบี้ยถี่มากในระดับรัวยิกจนช่วงความแตกต่างของเวลาระหว่างการจ่ายดอกเบี้ยแต่ละครั้งเข้าใกล้ศูนย์ จำนวนเงินที่เรามีตอนสิ้นปีจะเป็นเท่าไร?
คำตอบที่เขาได้คือ 2.71828...ซึ่งนั่นคือค่า e นั่นเอง
ข้อสรุปหนึ่งที่เราได้จากปัญหาข้อนี้คือ ในจ่ายดอกเบี้ยนั้น ต่อให้ถี่ยิกสุดๆก็ไม่ได้ทำให้เงินเราเพิ่มจนเป็นอนันต์เมื่อถึงปลายปี แต่จะไปเข้าใกล้ค่าๆหนึ่ง
หากเขียนโจทย์การคิดดอกเบี้ยนี้ให้เป็นสมการคณิตศาสตร์จะได้นิยามค่า e ดังนี้
ต่อมาในปี ค.ศ. 1708 นักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศส Pierre Rémond de Montmort ได้ถามคำถามที่ชวนปวดหัวเกี่ยวกับการเรียงสับเปลี่ยน โดยคำถามมีอยู่ว่า...
ถ้ามีคนมาดื่มสังสรรค์กันในบาร์ ซึ่งทุกคนมาพร้อมกับหมวกคนละใบแต่ถอดรวมๆกันไว้ในกล่องหน้าร้าน
หากตอนออกจากร้านทุกคนหยิบหมวกไปแบบสุ่มๆ ถามว่ามีโอกาสเท่าไหร่ที่ทุกคนจะไม่ได้หมวกของตนเองเลย
ปัญหานี้ถูกแก้ได้ในปี ค.ศ. 1713 โดยเพื่อนนักคณิตศาสตร์ของเขาผู้มีนามว่า Nicolaus I Bernoulli ผู้เป็นหลานและศิษย์ของเจคอบ แบร์นูลลี โดยคำตอบที่ได้คือ 37% ซึ่งตัวเลขดังกล่าวคือค่า 1/e
ตอนที่เรียนแคลคูลัส หลายคนอาจจำได้(ฝังใจ) ว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่มีฐานเป็น e (ซึ่งเขียนได้ว่า e ยกกำลังx)นั้น หากนำมาดิฟแล้วจะได้ค่าฟังก์ชันหน้าตาเหมือนเดิมออกมาซึ่งเป็นความพิเศษของมัน
พูดง่ายๆว่าฟังก์ชันของความชันมีหน้าตาเหมือนกับตัวฟังก์ชันอย่างสมบูรณ์
ค่า e นั้นปรากฏออกมาในอีกหลากหลายสถานการณ์ ทั้งการประมาณค่าแฟคทอเรียลของจำนวนมากๆ กราฟในวิชาสถิติ การสลายตัวของธาตุกัมมันตรังสี จนถึงการเจริญเติบโตของประชากร
ค่าคงที่ที่ปรากฏทั่วไปจนน่ามหัศจรรย์นี้ ถูกเขียนว่า e ซึ่งหลายคนอาจไม่รู้ว่ามันถูกตั้งชื่อตามอักษรตัวหน้าสุดของนักคณิตศาสตร์ผู้มีนามว่าออยเลอร์ (Euler) และหลายๆคนเรียกมันว่าค่าคงที่ออยเลอร์
ส่วนออยเลอร์เป็นใครนั้น ครั้งหน้าจะเล่าให้ฟังครับ
อ้างอิง
หนังสือ 50 Mathematical Ideas You Really Need to Know
โดย โทนี คริลลี่
*เจคอบ แบร์นูลลี ไม่ใช่ผู้ที่ค้นพบหลักของแบร์นูลลี (Bernoulli's principle) ที่ใช้อธิบายความดันของของไหล ผู้ค้นพบกฎดังกล่าวคือ แดเนียล แบร์นูลลี ผู้เป็นหลานของเขา
- 36
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2025 Blockdit
