โทโพโลยี เรขาคณิตแห่งการบิด บีบ และงอ
เรขาคณิตที่เราเรียนกันในระดับมัธยมนั้นเป็นเรขาคณิตแบบยูคลิด ซึ่งรูปร่างรูปทรงต่างๆล้วนแข็งเกร็ง (rigid)
กล่าวคือ เราศึกษามุมของรูปหลายเหลี่ยม คำนวณพื้นที่ของมันจากความยาวด้าน ฯลฯ
แต่คณิตศาสตร์สาขาโทโลโลยี (topology) จะศึกษาสมบัติของรูปร่างรูปทรงภายใต้การบิด บีบ งอ แต่ไม่ตัด ไม่เจาะรู และไม่นำมาเชื่อมต่อใหม่
ยกตัวอย่าง เช่น แก้วกาแฟแบบมีหูเดียว นั้น เป็นวัตถุประเภทเดียวกับโดนัท เพราะหากเราปั้นแก้วกาแฟขึ้นมาจากดินเหนียว เราจะสามารถบิดแก้วกาแฟให้กลายเป็นโดนัทได้ โดยไม่เจาะรู ไม่ตัด และไม่ได้เชื่อมต่ออะไรใหม่เลย
คราวนี้ถ้าเราสนใจแค่ผิวโดนัท โดยไม่สนใจเนื้อแป้ง
มันจะเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีหน้าตาคล้ายห่วงยางว่ายน้ำที่เรียกว่า ทอรัส (torus)* เราสามารถสร้างห่วงยางอย่างง่ายๆได้ด้วยการนำกระดาษสี่เหลี่ยมจัตุรัส มาติดกาวต่อกันด้านบนจนได้ท่อทรงกระบอก จากนั้นบิดแล้วนำปลายท่อทั้งสองมาต่อกันก็จะได้ผิวของห่วงยาง
หากใครที่เกิดทันน่าจะเคยเล่นเกมงูในโทรศัพท์มือถือยุคก่อน ซึ่งพองูวิ่งไปทางซ้ายจนสุดจอ มันจะทะลุออกมาโผล่ด้านขวาของหน้าจอ และ เมื่องูวิ่งไปด้านบนจนสุด มันจะทะลุมาโผล่ด้านล่างของหน้าจอ
โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายโลกของเกมงู คือ flat torus เพราะงูวิ่งไปบนหน้าจอสี่เหลี่ยมเรียบๆ (flat) แต่โครงสร้างทั้งหมดเหมือนกระดาษจัตุรัสที่ถูกบิดมาต่อกันเป็นห่วงยาง (torus)
นักฟิสิกส์จำนวนหนึ่งสร้างแบบจำลองเอกภพในลักษณะของ flat torus ซึ่งกาลอวกาศจะมีลักษณะเหมือนผิวของห่วงยาง** กล่าวคือ เมื่อเราเดินทางไปในอวกาศเรื่อยๆเป็นเส้นตรง พอถึงจุดหนึ่งเราจะกลับมาที่เดิมนั่นเอง
คำถามคือ คณิตศาสตร์ด้านโทโพโลยีนั้นมีการประยุกต์ใช้อื่นๆบ้างไหม?
อันที่จริงแล้วเส้นผมบนศีรษะของเรามีปริศนาหนึ่งแฝงอยู่
หากเรามองเส้นผมแต่ละเส้นเป็นเหมือนลูกศรเล็กๆที่ติดอยู่บนศีรษะเรา จะมีบางจุดที่ลูกศรเหล่านี้มีค่าเป็นศูนย์เสมอ ยกตัวอย่างเช่น ขวัญ ที่เส้นผมล้วนชี้ไปรอบๆเหมือนพายุหมุน แต่ตรงขวัญไม่มีผมขึ้นเลย (ซึ่งขวัญของบางคนอาจจะมีลักษณะเป็นเส้นก็ได้)
นักคณิตศาสตร์ใช้ความรู้เชิงโทโพโลยีพิสูจน์ได้ว่า ถ้าเรามีลูกบอลกลมๆซึ่งมีขนเล็กๆงอกออกมาเต็มไปหมด เราจะไม่มีทางหวีมันให้ไปทางเดียวกันทั้งหมดได้ โดยไม่เกิดขวัญ หรือจุดที่ขนเหล่านั้นปะทะกันจนชี้ไปคนละทิศละทาง
ทฤษฎีบทดังกล่าวมีชื่อว่า hairy ball theorem ซึ่งเป็นจริงกับผิวทุกอย่างที่มีลักษณะเชิงโทโพโลยีแบบทรงกลมซึ่งไม่มีรู เช่น ทรงรี ฯลฯ ด้วย การประยุกต์ใช้ความรู้ในทฤษฎีบทนี้อาจจะยังหายากหน่อย แต่ก็ยังมีการนำทฤษฎีบทนี้ไปอธิบายเส้นแรงแม่เหล็ก ลักษณะของพายุ จนถึง การสะท้อนของแสง
รางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี ค.ศ. 2016 เป็นของนักฟิสิกส์สามท่านที่ค้นพบการเปลี่ยนสถานะเชิงโทโพโลยีและสถานะเชิงโทโพโลยีของสสาร
กล่าวคือ นักฟิสิกส์ทั้งสามเป็นการนำคณิตศาสตร์สาขานี้มาใช้อธิบายปรากฏการณ์ในระดับอะตอม เช่น ใช้อธิบายการเปลี่ยนสถานะของปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ได้ (quantum Hall effect) นักฟิสิกส์คาดหมายว่าความรู้เหล่านี้อาจนำไปสู่การออกแบบวัสดุสำคัญๆหลายอย่างในอนาคต รวมทั้งการสร้างควอมตัมคอมพิวเตอร์ด้วย
นอกจากนี้ คณิตศาสตร์แขนงนี้ยังแตกสาขาไปสู่ ทฤษฎีเงื่อน (Knot theory) ซึ่งศึกษาการผูกเงื่อนเชิงคณิตศาสตร์
ซึ่งนักฟิสิกส์เชิงทฤษฎีอย่างเอ็ดเวิร์ด วิทเทน ใช้มันในการทำความเข้าใจโครงสร้างพื้นฐานของเอกภพ
อย่างไรก็ตาม
คงไม่มีรูปทรงทางเรขาคณิตโทโพโลยีใดจะน่าสนใจและน่ากล่าวถึงไปกว่า
แถบเมเบียส ซึ่งผมจะเล่าให้ฟังครั้งหน้าครับ
*มันคือวัตถุประเภท มี 1 รู ซึ่งถูกเรียกด้วยภาคณิตศาสตร์ว่า Genus 1
(ถ้ามี 2 รู จะเรียกว่า Genus 2 , ถ้ามี 3 รู จะเรียกว่า Genus 3 แบบนี้ไปเรื่อยๆ ...)
** คำว่าผิวในที่นี้หมายถึงผิวสามมิติซึ่งเราไม่สามารถจิตนาการออกมาเป็นภาพได้
แต่คณิตศาสตร์อธิบายมันได้
อ้างอิง
- 16
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2025 Blockdit
