เรขาคณิตนอกระบบยุคลิด
โลกที่เส้นขนานอาจบรรจบกันหรือห่างกันมากขึ้นได้
ตำราเรขาคณิตของยูคลิดนั้นส่งอิทธิพลถึงนักคณิตศาสตร์อย่างยาวนาน นับตั้งแต่ยุคก่อนคริสตกาลจนถึงทุกวันนี้
วิธีคิดของยูคลิดนั้นรัดกุม และเรียบง่าย จนนักคณิตศาสตร์ยุคก่อนเชื่อแบบฝังหัวว่าเรขาคณิตนั้นมีเพียงแบบที่ยูคลิดสร้างขึ้นเท่านั้น
ทฤษฎีบทที่ว่า มุมในสามเหลี่ยมใดๆรวมกันได้ 180 องศา และส่วนมุมในสี่เหลี่ยมใดๆรวมกันได้ 360 องศา ที่เราร่ำเรียนกันก็เป็นผลมาจากเรขาคณิตแบบยูคลิดนั่นเอง
นักคณิตคนแรกที่เริ่มคิดแหกขนบ คือ คาร์ล ฟรีดิช เกาส์ (Carl Friedrich Gauss) แต่เขาไม่เผยแพร่ผลงานนี้ ส่วนหนึ่งอาจเป็นเพราะกลัวถูกหัวเราะเยาะ
แต่อีกฟากของโลก นักคณิตศาสตร์รัสเซียผู้มีนามว่า Nikolai Lobachevsky มองเห็นว่ามีเรขาคณิตรูปแบบอื่นที่ไม่ใช่แบบยูคลิดอยู่ จึงเขียนงานชิ้นนี้ส่งไปตีพิมพ์ ที่สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก (St. Petersburg Academy of Sciences) แต่ถูกปฏิเสธ สุดท้ายผลงานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในวารสารเล็กๆเหงาๆ
(ในช่วงเวลานั้น นักคณิตศาสตร์ฮังกาเรียน János Bolyai ก็ได้ค้นพบเรขาคณิตแบบเดียวกัน โดยไม่ได้ปรึกษาหารือกันมาก่อน)
Nikolai Lobachevsky
Nikolai Lobachevsky เป็นอาจารย์มหาวิทยาลัย Kazan University (ซึ่งเป็นสถานที่ที่เขาเรียนจบมา) ผู้มีส่วนสำคัญในการสร้างสรรค์ความเปลี่ยนแปลงของมหาวิทยาลัยตั้งแต่จัดซื้ออุปกรณ์ในห้องทดลองฟิสิกส์และหนังสือใหม่ๆสู่ห้องสมุด เมื่อได้เป็นคณบดีก็มีการสร้างห้องสมุดสำหรับคณะต่างๆ รวมทั้งสนับสนุนงานวิจัยทั้งสายวิทยาศาสตร์และศิลป์ จนมหาวิทยาลัยมีนักศึกษาเพิ่มขึ้นมากมาย
ในบั้นปลายชีวิต เขาตาบอด และเนื่องจากเขามีลูกมากถึง 18 คน (มีเพียง 7 คนที่มีชีวิตรอดมาจนเป็นผู้ใหญ่) เป็นหนึ่งในสาเหตุที่ทำให้เขายากจนลงในวัยเกษียณและเสียชีวิตไปด้วยความแร้นแค้นในปี ค.ศ. 1856 โดยไม่มีใครพูดถึงผลงานของเขาเลย
หลังจากนั้นหลายสิบปี ในปี ค.ศ. 1909 ผลงานต้นฉบับของเขาได้รับการตีพิมพ์เผยแพร่ และเขาได้รับการยกย่องว่าเป็นดั่งโคเปอร์นิคัสแห่งโลกเรขาคณิต เพราะการค้นพบนี้เปลี่ยนกระบวนการคิดของนักคณิตศาสตร์ไปแบบสิ้นเชิง
เรขาคณิตที่เขาค้นพบมีชื่อว่า hyperbolic geometry ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตนอกระบบยุคลิด (Non-Euclidean geometry) ซึ่งเราสามารถทำความเข้าใจแนวคิดหลักๆของเรขาคณิตแบบใหม่นี้ได้ไม่ยาก
ยูคลิดสร้างโลกทางเรขาคณิตโดยเริ่มต้นจากกฎง่ายๆไม่กี่ข้อ
แต่มีกฎอยู่ข้อหนึ่ง เรียกว่า สัจพจน์เส้นขนาน (parallel postulate) ที่หลายคนรู้จักกันดีว่าเส้นขนานสองเส้นคู่ขนานกันไปเรื่อยๆโดยไม่ตัดกัน
กฎข้อนี้แม้จะฟังดูชัดเจนมากๆจนไม่ต้องอาศัยการพิสูจน์ แต่นักคณิตศาสตร์จำนวนไม่น้อยในยุคต่อมายังคลางแคลงว่ามันเป็นข้อเท็จจริงพื้นฐานหรือไม่ หลายคนพยายามพิสูจน์ว่ามันเกิดขึ้นจากกฎพื้นฐานที่เรียบง่ายกว่า แต่ก็ไม่มีใครประสบผลสำเร็จ
อันที่จริง นักคณิตศาสตร์โลกอิสลาม ใน ศตวรรษที่ 11 อย่าง Omar Khayyam ได้ครุ่นคิดเกี่ยวกับสัจพจน์เส้นขนานไว้ด้วยการพยายามพิสูจน์มัน แม้จะไม่สำเร็จแต่ความคิดของเขาเข้าใกล้ เรขาคณิตนอกระบบยุคลิด (Non-Euclidean geometry) มากๆ
หากเราต้องการวาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
วิธีง่ายๆคือ เริ่มต้นด้วยการวาดเส้นตรงเป็นฐานในแนวนอน จากนั้นวาดเส้นตรงสองเส้นที่มีความยาวเท่ากันขึ้นมา โดยทั้งสองเส้นทำมุมฉากกับเส้นฐาน จากนั้นก็ลากเส้นต่อปลายทั้งสองเป็นอันเสร็จ
คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือ ด้านตรงข้ามทุกด้านต้องยาวเท่ากัน
ตอนเราวาดรูป เราลากเส้นตรงสองเส้นสีแดงที่ขนานกันซึ่งเราวัดไปในระหว่างวาดให้เส้นทั้งสองยาวเท่ากันไปแล้ว คำถามคือ เส้นตรงด้านบนที่เราลากเชื่อมมันยาวเท่ากับเส้นฐานด้านล่างหรือไม่
คำตอบคือ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า ถ้าเส้นตรงสองเส้นสีแดงที่ลากขึ้นจากฐานนั้นยาวเท่ากันและมุมที่ทำกับฐานเป็นมุมฉาก มุมด้านบนทั้งสองมุม (มุม C กับ D) ก็จะเป็นมุมฉากด้วย ซึ่งส่งผลให้เส้นตรงที่ลากขึ้นเชื่อมด้านบนยาวเท่ากับฐานด้านล่าง แต่การพิสูจน์นี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเราเชื่อว่าสัจพจน์เส้นขนานของยุคลิดเป็นจริง ซึ่งนักคณิตศาสตร์ทุกคนเชื่อว่ามันถูกต้อง
ทว่าถ้าเราปรับสัจพจน์เส้นขนานให้เปลี่ยนแปลงไปล่ะ จะเกิดอะไรขึ้น? คำตอบคือ
- ถ้าเส้นตรงด้านบนสั้นกว่าฐาน เราจะได้เรขาคณิตแบบ spherical geometry หรือเรขาคณิตบนผิวทรงกลม ซึ่งปลายเส้นขนานบรรจบกันได้
- ถ้าเส้นตรงด้านบนยาวกว่าฐาน เราจะได้เรขาคณิตแบบ hyperbolic geometry หรือเรขาคณิตบนผิวแบบอานม้า ซึ่งปลายเส้นขนานจะห่างกันมากขึ้น
กล่าวคือ เรขาคณิตแบบยุคลิดนั้นเป็นเรขาคณิตสำหรับ space หรือที่ว่างที่มีความราบเรียบเหมือนแผ่นกระดาษ ส่วนเรขาคณิตรูปแบบอื่นใช้ได้กับที่ว่างที่มีความโค้ง ซึ่งสำคัญอย่างยิ่งต่อการพัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์
ส่วนคำถามที่ว่า แล้วที่ว่างในเอกภพของเรามีความโค้งแบบใด ?
ไว้จะเล่าให้ฟังในอนาคตครับ
- 32
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2025 Blockdit
