อนันต์ กับ อนันต์ ใหญ่เท่ากันหรือไม่?
เกออร์ค คันเทอร์ (Georg Cantor) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันปฏิวัติแนวคิดเกี่ยวกับอนันต์ด้วยการพิสูจน์ให้เห็นว่าความเป็นอนันต์บางอย่างอาจมากกว่าอนันต์อีกแบบได้!
แม้จะฟังดูแปลกประหลาด แต่มันก็เป็นเรื่องจริง
ถ้ามีเด็กสองกลุ่มใหญ่ๆอยู่ในสนามกีฬา
กลุ่มแรกเป็นเด็กเล็ก กลุ่มที่สองเป็นเด็กโต
เราจะรู้ได้อย่างไรว่า เด็กกลุ่มไหนมีจำนวนมากกว่ากัน?
วิธีแรกคือ นับจำนวนเด็กกลุ่มแรก จากนั้นก็ไปนับจำนวนเด็กกลุ่มที่สองเพื่อเปรียบเทียบ
วิธีที่สองคือ ประกาศให้เด็กเล็กจับคู่กับเด็กโต เมื่อทำการจับคู่เสร็จแล้วก็ดูว่าเด็กที่เหลือจากการจับคู่เป็นเด็กเล็กหรือเด็กโต ถ้าเด็กเล็กเหลือก็แปลว่าเด็กเล็กมีจำนวนมากกว่านั่นเอง ซึ่งวิธีหลังนี้เราไม่จำเป็นต้องรู้จำนวนเด็กก็สามารถรู้ได้ว่าเด็กกลุ่มไหนมีจำนวนมากกว่ากัน
จำนวนนับ (1 ,2,3,4,…) กับจำนวนคู่บวก (2,4,6,8,10,…) ล้วนมีสมาชิกเป็นอนันต์
คำถามคือ กลุ่มไหนมีจำนวนมากกว่ากัน?
บางคนอาจคิดว่าจำนวนนับน่าจะมีมากกว่าจำนวนคู่บวกเพราะจำนวนนับนั้นมีทั้งจำนวนคู่บวกและจำนวนคี่เป็นสมาชิก
แต่เกออร์ค คันเทอร์ เสนอว่าหากเราจับคู่มันอย่างเหมาะสม จะพบว่าจำนวนนับทุกจำนวน เข้าคู่กับจำนวนคู่บวกได้อย่างพอดี
หากเราคูณ 2 เข้ากับจำนวนนับ เราจะได้
1 ———-> 2
2 ———-> 4
3 ———-> 6
4 ———-> 8
.
.
.
ซึ่งจะเห็นได้ว่าจำนวนนับ เข้าคู่กับจำนวนคู่บวกพอดี
ดังนั้นในเมื่อเราจับคู่มันได้อย่างพอดี จำนวนสมาชิกของทั้งสองกลุ่มนี้จึงเท่ากัน!
เกออร์ค คันเทอร์
นอกจากนี้เขายังพิสูจน์ได้ด้วยว่า จำนวนจริงที่อยู่ระหว่าง 0 ไปถึง 1 นั้น มีมากกว่าจำนวนนับเสียอีก
วิธีพิสูจน์เริ่มจากการสมมติ(ไปก่อน)ว่าเราจับคู่จำนวนระหว่าง 0 กับ 1 เข้ากับจำนวนนับได้อย่างสมบูรณ์ ในลักษณะนี้
1 จับคู่กับ 0.105698...
2 จับคู่กับ 0.954820013...
3 จับคู่กับ 0.0215972...
4 จับคู่กับ 0.8102546...
.
.
.
จำนวนนับ (ฝั่งซ้าย) กับ จำนวนระหว่าง 0 กับ 1 (ฝั่งขวา)เกิดขึ้นอย่างสมบูรณ์ โดยไม่มีขาดเกิน
คราวนี้เราจะพิสูจน์ว่าการจับคู่ดังกล่าวสมบูรณ์แบบจริงหรือไม่
โดยเริ่มจากการสร้างจำนวนใหม่จากจากทศนิยมของจำนวนในฝั่งขวาที่แทยงลงมาเรื่อยๆดังนี้
0.(1)05698...
0.9(5)4820013...
0.021(5)972...
0.810(2)546...
.
.
.
เราจะได้จำนวน 0.1552...
จากนั้นลองสร้างจำนวนใหม่จากจำนวนที่เพิ่งได้ด้วยกฎง่ายๆคือ เปลี่ยนจำนวนหลังจุดทศนิยม
- ถ้าเจอเลข 1 ให้เปลี่ยน 2
- ถ้าเจอเลขอื่นๆที่ไม่ใช่ 1 ให้เปลี่ยนเป็น 1
เราจะเปลี่ยนจำนวน 0.1552 ให้กลายเป็น 0.2111...
สังเกตจำนวน 0.2111... ที่เพิ่งได้ให้ดีนะครับ
เพราะคราวนี้เราจะทำการพิสูจน์ว่ามันไม่อยู่ในลิสต์ฝั่งขวามือด้วยกาพิจารณาทศนิยมทีละตำแหน่ง
0.(1)05698... ทศนิยมตำแหน่งที่ 1 ไม่ตรงกับ
0.(2)111...
0.9(5)4820013... ทศนิยมตำแหน่งที่ 2 ไม่ตรงกับ 0.2(1)11...
0.021(5)972... ทศนิยมตำแหน่งที่ 3 ไม่ตรงกับ 0.21(1)1...
0.810(2)546... ทศนิยมตำแหน่งที่ 4 ไม่ตรงกับ 0.211(1)...
.
.
ซึ่งเมื่อไล่ไปเรื่อยๆจะพบว่าลิสต์ฝั่งขวามือไม่ตรงกับจำนวนที่เราสร้างขึ้นใหม่เลย
ที่น่าสนใจคือ เราสามารถสร้างจำนวนใหม่ที่ไม่มีใน ลิสต์ฝั่งขวามือ ด้วยกฎอื่นๆได้อีกหลากหลายรูปแบบ ซึ่งเป็นการแสดงให้เห็นว่า "จำนวนระหว่าง 0 กับ 1 มีมากกว่าจำนวนนับ"
ในวิชาฟิสิกส์ หากการคำนวณบางอย่างให้ค่าอนันต์ออกมา ก็แปลว่าการคำนวณหรือการตีความนั้นมีปัญหา เพราะ ไม่มีใครวัดปริมาณใดเป็นค่าอนันต์ได้
ยกตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (special relativity) หากวัตถุอย่างก้อนหิน ถูกเร่งความเร็วเพิ่มขึ้นเรื่อยๆจนมีความเร็วเท่ากับแสง พลังงานของมันจะมีค่าเป็นอนันต์ ซึ่งนักฟิสิกส์ตีความว่าเราสามารถเร่งความเร็วของวัตถุให้เพิ่มขึ้นเรื่อยๆได้ แต่ไม่มีทางเร่งความเร็วมันจนเท่าแสงได้
พลังงานจลน์จะเข้าใกล้อนันต์ เมื่อวัตถุเร็วใกล้แสง ดังกราฟสีแดง
เมื่อดาวฤกษ์มวลมหาศาลยุบตัวด้วยแรงโน้มถ่วงจนเนื้อดาวมีขนาดเป็นจุด ความหนาแน่นที่คำนวณได้ทางทฤษฎีจะเป็นอนันต์ สภาพดังกล่าวเรียกว่า singularity ซึ่งอยู่ใจกลางหลุมดำ ปัจจุบันจึงไม่มีทฤษฎีฟิสิกส์ใดๆใช้อธิบายธรรมชาติของสภาวะดังกล่าวได้
ทฤษฎีพลศาสตร์แม่เหล็กไฟฟ้าควอนตัม (quantum electrodynamics) นั้น ช่วยให้นักฟิสิกส์คำนวณหาโอกาสที่อนุภาคมีประจุไฟฟ้าจะชนกันได้เป็นอย่างดี แต่ในระยะแรกที่ทฤษฎีนี้ถูกพัฒนาขึ้น นักฟิสิกส์พบว่าหากต้องการผลลัพธ์ที่ละเอียดมากขึ้น จะต้องทำการคำนวณให้ละเอียดขึ้น แต่ผลการคำนวณส่วนนั้นกลับได้ค่าอนันต์ออกมา นักฟิสิกส์ระดับโลกจำนวนมากหาวิธีทำให้อนันต์ที่เกิดขึ้นหายไป ซึ่งเทคนิคดังกล่าวเรียกว่า Renormalization
การคำนวณในพลศาสตร์แม่เหล็กไฟฟ้าควอนตัมที่ก่อให้เกิดค่าอนันต์
จะเห็นได้ว่าการจัดการกับค่าอนันต์นั้นไม่ใช่เรื่องง่ายและก่อให้เกิดความปวดหัวได้เสมอ ดังนั้นหากอ่านบทความนี้ แล้วรู้สึกปวดหัวบ้างก็อย่าได้แปลกใจไป เพราะนั่นน่าจะเป็นเรื่องปกติครับ (HA-HA)
- 13
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2025 Blockdit
