แฟรกทัล เรขาคณิตแท้จริงแห่งธรรมชาติ
รูปทรงเรขาคณิตที่เราเรียนกันตอนมัธยมนั้นช่วยในการอธิบายธรรมชาติได้เป็นอย่างดี
โลกมีสัณฐานเป็นทรงกลม ซึ่งเราสามารถคำนวณหาปริมาตรและวิเคราะห์ตัวแปรต่างๆได้ด้วยสูตรหาปริมาตรทรงกลม แต่ถ้าต้องการให้ละเอียดชัดเจนขึ้นไปอีกก็ทำได้ด้วยการเพิ่มตัวแปรอื่นๆเข้าไป เช่น ความป่องตรงกลางเล็กน้อยของโลก เนื่องจากการหมุนรอบตัวเองของโลกเหวี่ยงตรงกลางให้ป่องออกมา รูปทรงดังกล่าวเรียกว่า ellipsoid ซึ่งเราก็มีสูตรสำหรับการคำนวณเช่นกัน
แต่หากเราซูมดูที่ผิวโลกด้วยความละเอียดสูงสุดๆจะพบความขรุขระไม่สม่ำเสมอ เพราะผิวโลกมีทั้งหุบเหว ร่องน้ำ ภูเขา เนินลาดชัน ฯลฯ ในขณะที่รูปทรงเรขาคณิตของยูคลิดที่เราเรียนนั้นมีผิวที่ราบเรียบ
แต่ในรายละเอียด รูปร่างรูปทรงในธรรมชาติอื่นๆตั้งแต่ใบไม้ จนถึง ขอบหลุมอุกกาบาต ก็ล้วนแล้วแต่ขรุขระทั้งสิ้น
คำถามคือ มีรูปทรงเรขาคณิตที่อธิบายพื้นผิวขระขรุเหล่านี้ได้หรือไม่ ?
นักคณิตศาสตร์เพิ่งรู้คำตอบราวร้อยปีก่อนว่า 'มี' นั่นคือ แฟรกทัล (Fractal)
แฟรกทัล (Fractal) มาจากคำว่า fractusในภาษาละตินที่แปลว่า รอยแตก หรือขรุขระ เพราะรูปร่างรูปทรงของแฟรกทัลนั้นเต็มไปด้วยความขรุขระซึ่งคล้ายคลึงกับพื้นผิวในของธรรมชาติ
ในทางคณิตศาสตร์ แฟรกทัลคือ รูปร่างรูปทรงที่มีคุณสมบัติคล้ายตัวเอง (self similarity)
กล่าวคือ เมื่อทำการขยายแฟรกทัลให้ใหญ่ขึ้น เราจะพบว่าภาพที่ได้มีหน้าตาคล้ายคลึงกับในตอนแรก วัตถุในธรรมชาติมากมายมีคุณสมบัตินี้ ยกตัวอย่างเช่น ใบเฟิร์น ซึ่งเมื่อเราซูมจะพบว่ากิ่งเล็กๆของมันเติบโตในลักษณะคล้ายๆกับกิ่งใหญ่ หรือ สายฟ้าที่ผ่าลงมา จนถึงการแตกแขนงของเส้นเลือด
ตัวอย่างของแฟรกทัลที่รู้จักกันดีคือ Koch snowflake
มันเป็นหนึ่งในแฟรกทัลรูปทรงๆแรกๆที่ถูกศึกษา โดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสผู้มีนามว่า Helge von Koch ซึ่งเขาได้ตีพิมพ์การศึกษาคุณสมบัติของมันในปี ค.ศ. 1904
วิธีสร้าง Koch snowflake เริ่มต้นจากการวาดสามเหลี่ยมด้านเท่าธรรมดาๆ
จากนั้นให้ตรงกลางด้านงอกสามเหลี่ยมด้านเท่าขึ้นมา แล้วทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ
เราจะได้ทรงเรขาคณิตประหลาดที่ขอบมีลักษณะซ้ำเดิมอย่างไร้ที่สิ้นสุด
ที่แปลกไปกว่านั้น คือ ความยาวรอบรูปของมันเป็นอนันต์ แต่มันกลับล้อมรอบพื้นที่ที่จำกัด!
Koch snowflake
นักคณิตศาสตร์ผู้เรียกทรงเรขาคณิตขระขระเหล่านี้ว่าแฟรกทัลเป็นคนแรกคือ เบอนัว แมนแดลโบรต (Benoit Mandelbrot) ที่สำคัญเขาได้ศึกษาแฟรกทัลรูปทรงสำคัญจนทุกวันนี้เราเรียกมันว่า Mandelbrot set
ทุกวันนี้ เราสามารถเขียนโปรแกรมอย่างง่าย เพื่อสร้าง Mandelbrot set ได้ไม่ยาก (ซึ่งผมจะอธิบายวิธีสร้างให้ฟังในครั้งถัดไป) แต่ในยุคที่ที่ เบอนัว แมนแดลโบรต ทำการศึกษานั้น คอมพิวเตอร์ไม่ได้ดีอย่างทุกวันนี้ ทำให้รายละเอียดที่พบเห็นไม่ได้ดีอย่างทุกวันนี้
ความน่าทึ่งคือ วิธีการสร้าง Mandelbrot set นั้นเรียบง่าย
รูปทรงเรขาคณิตแสนซับซ้อนที่เกิดขึ้นมาจากกฎเรียบง่าย
ที่ได้รับการสั่งซ้ำๆไปเรื่อยๆเท่านั้น
หากซูม Mandelbrot set จะพบว่าหน้าตาที่ได้คล้ายคลึงเดิมไปเรื่อยๆไร้ที่สิ้นสุด
ทุกวันนี้ นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ใช้ความรู้เกี่ยวกับแฟรกทัล ในการ...
- ศึกษารูปทรงในธรรมชาติ
- ศึกษากราฟที่ซับซ้อนของระบบเคออส
- ออกแบบเสาสัญญาณในพื้นที่จำกัด (Fractal antennas)
- ออกแบบลวดลายกราฟฟิกเท่ๆ
- ขึ้นรูปภูเขาหรือทรงธรรมชาติอื่นๆในแบบจำลองคอมพิวเตอร์
กล่าวได้ว่าแฟรกทัลเป็นสาขาหนึ่งทางคณิตศาสตร์ที่น่าศึกษาทั้งในแง่คณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้มากมายทีเดียว
- 27
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2025 Blockdit
