จำนวนเฉพาะขนาดใหญ่
หนึ่งในสิ่งที่นักคณิตศาสตร์พยายามไล่ล่า
จำนวนเฉพาะ (prime number) คือ จำนวนที่มีแค่ 1 กับตัวมันเองหารลงตัว นานมาแล้ว ยูคลิด (Euclid) สุดยอดนักคณิตศาสตร์แห่งกรีกโบราณเคยพิสูจน์ไว้ว่าจำนวนเฉพาะนั้นมีอยู่อย่างไร้ที่สิ้นสุด และนักคณิตศาสตร์ในยุคต่อมาพบว่าจำนวนเฉพาะยิ่งมีค่ามากก็ยิ่งหายาก เพราะโดยเฉลี่ยแล้วมันจะอยู่ห่างกันมากขึ้นเรื่อยๆ
ยกตัวอย่างเช่น
ระหว่าง 1-100 มีจำนวนเฉพาะอยู่ 25 จำนวน
ระหว่าง 1,001-1,100 มีจำนวนเฉพาะอยู่ 16 จำนวน
ระหว่าง 100,001-100,101 มีจำนวนเฉพาะอยู่ 6 จำนวน
พูดง่ายๆว่ายิ่งจำนวนเฉพาะมีค่ามาก ก็จะยิ่งอยู่อย่างเบาบางโดดเดี่ยวมากขึ้น แต่จนถึงวันนี้ก็ยังไม่มีนักคณิตศาสตร์คนไหน สามารถหาสูตรสำเร็จที่ใช้หาจำนวนเฉพาะใดๆได้
การพยายามศึกษาการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะจึงเป็นสิ่งที่ท้าทายนักคณิตศาสตร์มาโดยตลอด ทฤษฎีบทสำคัญที่สุดอย่างหนึ่งเกี่ยวกับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะมีชื่อว่า prime number theoremได้รับการพิสูจน์อย่างชัดเจนในปี ค.ศ. 1896 โดยนักคณิตศาสตร์ Jacques Hadamard และ Charles Jean de la Vallée Poussinซึ่งทั้งสองคิดได้ด้วยตนเองโดยไม่ได้ปรึกษาหารือกัน (ก่อนหน้านี้นักคณิตศาสตร์ระแคะระคายและตั้งสมมติฐานกันไว้แล้ว แต่ในตอนนั้นยังไม่มีใครพิสูจน์ได้)
ทฤษฎีบทดังกล่าว เป็นสูตรที่แสดงให้เห็นว่า
จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x จะมีกี่จำนวน โดยยิ่ง x มีค่ามาก ความคลาดเคลื่อนก็จะยิ่งน้อย เช่น
- จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 100 มีทั้งหมด 25 จำนวน แต่ถ้าใช้สูตรคำนวณจะได้ 21.7 ซึ่งผิดพลาดไปราวๆ 13.2%
- จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 ล้าน มีทั้งหมด 78,498 จำนวน ซึ่งถ้าใช้สูตรคำนวณจะได้ 72382.4 ซึ่งผิดพลาดไปราวๆ 7.79%
จะเห็นได้ว่ายิ่งถ้าเพิ่มขอบเขตจำนวนให้มาก อัตราความผิดพลาดจะยิ่งต่ำนั่นเอง
ในปี ค.ศ. 1963 Stanislaw Ulam นักคณิตศาสตร์โปแลนด์-อเมริกัน ค้นพบบางอย่างที่น่าสนใจเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ เขาลองเขียนจำนวนเต็มขดเป็นรูปก้นหอยสี่เหลี่ยม ไล่จากเลข 1 ที่ศูนย์กลางแล้วเพิ่มขึ้นไปเรื่อยๆ
จากนั้นเมื่อตัดเลขอื่นๆทิ้งไปจนเหลือแต่จำนวนเฉพาะก็พบว่าแนวทแยงปรากฏเป็นเส้นตรงของจำนวนเฉพาะขึ้นมาหลายแห่ง แสดงให้เห็นว่า จำนวนเฉพาะปรากฏหนาแน่นในแนวทแยง รูปแบบดังกล่าวมีชื่อว่า ก้นหอยของอูแลม (Ulam spiral)
ก้นหอยของอูแลมแตกต่างจากการกระจายแบบสุ่มๆอย่างเห็นได้ชัดเจน มันเป็นที่น่าสนใจของนักคณิตศาสตร์ทั้งในแง่การพยายามหาเหตุผลเบื้องหลังที่ลึกซึ้งและอาจช่วยในการมองหาจำนวนเฉพาะที่มีขนาดใหญ่มากๆได้ด้วย
ก้นหอยของอูแลมแบบต่าง
ล่าสุด ในปี ค.ศ. 2020 จำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุดที่รู้กันคือ (2^ 82,589,933)-1 (ถ้าเขียนออกมาเต็มๆจะเป็นเลขที่ยาวเกือบ 25 ล้านหลัก) ซึ่งถ้าใครติดตามการค้นหาจำนวนเฉพาะจะพบว่าจำนวนเฉพาะที่ค้นพบในช่วงหลังๆมักอยู่ในรูป (2ยกกำลัง P) -1 เพราะจำนวนที่อยู่ในรูปนี้มีนักคณิตศาสตร์พบวิธีการทดสอบว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ โดยคอมพิวเตอร์สามารถช่วยคำนวณได้
ทุกวันนี้ กล่าวโดยสรุปได้ว่าการพยายามค้นหาจำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้กลายเป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์และนักวิทยาการคอมพิวเตอร์พยายามทำด้วยเหตุผลดังนี้
1. การพยายามหาจำนวนเฉพาะที่มีค่ามากๆกลายเป็นเรื่องท้าทาย และส่วนหนึ่งมันอาจช่วยให้นักคณิตศาสตร์ต้องมองหาวิธีการใหม่ๆ ซึ่งอาจกลายเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในอนาคต
2.เป็นวิธีหนึ่งที่ใช้ในการทดสอบประสิทธิภาพของฮาร์ดแวร์
ข้อสุดท้ายอาจเป็นเหตุผลที่สำคัญที่สุดนั่นคือ 3.อยากหา (จบ)
- 23
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
