การแบ่งเค้กที่ทุกคนพอใจ
ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่แก้ไม่ง่าย
หนึ่งในปัญหาที่มนุษย์เราเผชิญอยู่ในชีวิตประจำวัน คือ การแบ่งสรรปันส่วนทรัพยากร ส่งผลให้ศาสตร์ต่างๆมากมายถูกพัฒนาขึ้นมาเพื่อตอบโจทย์นี้
รวมไปถึงคณิตศาสตร์สาขาหนึ่งที่พยายามศึกษาการแบ่งสรรอย่างยุติธรรม (Fair division) ให้คนจำนวนหนึ่งโดยที่ทุกคนพึงพอใจกับส่วนแบ่งของตน และเมื่อมองไปยังส่วนที่คนอื่นได้ก็ไม่รู้สึกอิจฉา (Envy free)
วัตถุที่มักใช้ในการขบคิดปัญหานี้ก็คือ เค้ก ซึ่งเป็นขนมที่ทุกคนรู้จักกันดี และมันถูกตัดแบ่งอยู่บ่อยครั้งตั้งแต่งานวันเกิด ไปจนถึง งานแต่งงาน
หลายคนอาจจะสงสัยว่า แล้วทำไมไม่แบ่งให้มันเท่ากันด้วยเครื่องมือทางวิทยาศาสตร์และตัดตามหลักเรขาคณิตล่ะ ?
คำตอบคือ การแบ่งอย่างถูกต้องตามหลักเรขาคณิตที่มีเหตุผลชัดเจน อาจจะไม่ใช่การแบ่งที่ถูกใจมนุษย์ที่มีส่วนได้ส่วนเสีย (ที่บางทีมองเห็นชิ้นของอีกฝ่ายดีกว่า ทั้งๆที่จริงๆแล้วมันไม่ต่างกัน)
ยิ่งถ้าหน้าเค้กเป็นแบบที่มีการใส่ท็อปปิ้งที่แตกต่างกัน บ้างช็อกโกแล็ต เชอรี่ หรือสีสันที่แตกต่างกัน ความชอบของแต่ละคนก็แตกต่างกัน การใช้เรขาคณิตมาตัดแบ่งอาจจะยากต่อการแบ่งมาก และอาจจะยิ่งห่างไกลจากความพอใจของผู้รับส่วนแบ่ง
ดังนั้นการแบ่งเค้กให้ทุกคนพอใจและไม่บ่นทีหลังจะให้ผู้ได้รับส่วนแบ่งมาตัดและเลือกชิ้นเค้กกันเอง แน่นอนว่า เค้ก เป็นวัตถุนามธรรมที่สามารถปรับเปลี่ยนเป็นสิ่งอื่นๆได้ เช่น ที่ดิน ช่วงเวลาออกอากาศ หรือ ผลประโยชน์อื่นๆ ได้
ปัญหาการแบ่งเค้กนำไปใช้กับการแบ่งสิ่งอื่นๆได้
ในเบื้องต้น เพื่อให้ง่ายต่อการคิด เราอาจไม่จำเป็นต้องพิจารณารายละเอียดของเค้ก แต่มองว่าเค้กที่เราสนใจเป็นเค้กกลมหน้าเรียบ ที่ทุกคนอยากได้ส่วนแบ่งมากที่สุด เมื่อแบ่งแล้ว แต่ละคนจะได้ชิ้นที่ตนเองรู้สึกว่าไม่เล็กไปกว่าของคนอื่น
กรณีง่ายสุดคือ การแบ่งระหว่างคน 2 คน
วิธีคือให้คนหนึ่งตัด อีกคนเลือกว่าจะเอาชิ้นไหน
คนตัดย่อมต้องพยายามตัดให้เท่ากันที่สุด จนกว่าจะพอใจ เพราะถ้าตัดไม่เท่า อีกฝ่ายจะเลือกชิ้นใหญ่กว่า
แล้วถ้าสามคนล่ะ?
การแบ่งเค้กให้คนสามคนนั้นไม่ง่ายอย่างสองคนนัก การจะทำความเข้าใจเรื่องนี้ต้องค่อยๆไล่เรียงไปทีละขั้นตอน โดยสมมติว่าผู้ได้รับส่วนแบ่งทั้งสามมีชื่อว่า เอ (A) บี (B) และซี ( C)
- C แบ่งเค้กเป็นส่วนสามเท่าๆกัน ตามมุมมองของเขา
- ให้ B เลือกสองชิ้นที่ชอบที่สุด โดยชิ้นที่ B เห็นว่าใหญ่สุดจะเรียกว่า เบอร์ 1 และ ชิ้นใหญ่รองลงมาว่าเบอร์ 2 ส่วนชิ้น B ที่ไม่เลือก คือ เบอร์ 3
- B ต้องหั่นชิ้นใหญ่สุดให้มีขนาดเท่าชิ้นรองลงมาให้ได้ ส่วนเกินที่ตัดออกมาจากชิ้นใหญ่สุดจะเรียก ชิ้นเศษ (ซึ่งอาจจะไม่มีชิ้นเศษก็ได้ ถ้า B เห็นว่าทั้งสองชิ้นใหญ่เท่ากันตั้งแต่แรกแล้ว)
- คราวนี้ให้ A เลือกเค้กคนแรก จะแบ่งเป็น 2 กรณี
1. ถ้า A เลือกชิ้นเบอร์ 1 ก็ไม่มีปัญหาอะไรเพราะ A ได้เลือกคนแรก ดังนั้น A ย่อมแฮปปี้
จากนั้น B ก็จะเลือกเบอร์ชิ้นเบอร์ 2 ที่เห็นว่าใหญ่เท่ากับเบอร์ 1 ดังนั้น B ย่อมแฮปปี้
ส่วน C จะได้ชิ้นเบอร์ 3 ซึ่งเขาแบ่งไว้แต่แรกแล้ว ดังนั้น C ย่อมแฮปปี้
กรณี1
2.ถ้า A เลือกชิ้นเบอร์ 2 หรือ 3 ซึ่ง A ได้เลือกคนแรก ดังนั้น A ย่อมแฮปปี้
จากนั้น B จะต้องเลือกเบอร์ 1 ที่เขาเพิ่งตัดแบ่งไป ซึ่งเขาเห็นว่ามันใหญ่เท่าเบอร์ 2 แล้ว ดังนั้น B ย่อมแฮปปี้
ส่วน C จะได้ชิ้นที่เหลือจากการเลือก ซึ่งเขาแบ่งไว้แต่แรกแล้ว ดังนั้น C ย่อมแฮปปี้
กรณี2
คราวนี้ ถ้าไม่มีชิ้นเศษ ทุกอย่างก็จบลงเท่านี้ แต่ถ้ามีชิ้นเศษจะต้องแบ่งกันอีกเล็กน้อยโดย
- ให้ B แบ่งชิ้นเศษออกเป็นสามส่วนเท่าๆกัน ดังนั้น B ได้ส่วนไหนก็แฮปปี้
- ให้ A เลือกเศษเป็นคนแรก ดังนั้น A ย่อมแฮปปี้เพราะได้เลือกชิ้นที่คิดว่าใหญ่สุดคนแรก
- ต่อมาให้ C เป็นคนเลือก ก็ย่อมแฮปปี้ เพราะในมุมของ C นั้น ส่วนที่เขาได้เป็นเหมือนชิ้นโบนัส เพราะจริงๆเขามองว่าชิ้น 1 กับ 2 นั้นเท่ากันแต่แรกแล้ว ไม่ควรจะมีชิ้นเศษออกมาด้วยซ้ำ
- สุดท้ายให้ B รับชิ้นเศษที่เหลือ เขาย่อมแฮปปี้เพราะเขาแบ่งไว้เอง
จะเห็นได้ว่ายิ่งคนมีจำนวนมาก กระบวนการที่ใช้แบ่งยิ่งซับซ้อนเข้าไปอย่างยิ่ง
จนการแบ่งสำหรับ 4 คน นั้นซับซ้อนไม่สามารถนำมาเล่า ในบทความนี้ได้
แต่สิ่งหนึ่งที่เราสรุปได้จากเรื่องนี้คือขัดแย้งของมนุษย์เรานั้น ส่วนหนึ่งเป็นผลมาจากการแบ่งสรรสิ่งต่างๆให้ลงตัวได้ยากเย็นเหลือเกิน เพราะยิ่งมีคนเกี่ยวข้องมาก ก็ยิ่งซับซ้อน จนทางออกที่ไม่ซับซ้อนอาจจะมีแค่การประนีประนอมยอมได้น้อยกว่าคนอื่นเล็กน้อย หรือ ไม่ก็ทำสิ่งที่เรียกว่า สงคราม นั่นเอง
- 23
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2025 Blockdit
