เราสามารถแบ่งให้เท่า ๆ กันในจำนวนที่เราไม่รู้ชัดได้หรือเปล่า
"สวัสดี" ผมถาม
"สวัสดี! วันนี้เป็นอย่างไรบ้าง?" แชทจีพีทีตอบ
"ฉันสงสัยว่าเราสามารถหารจำนวนอตรรกยะด้วยจำนวนอตรรกยะได้หรือเปล่า?" ผมถามอีก
แชทจีพีทีตอบว่า "ใช่ เราสามารถหารจำนวนอตรรกยะด้วยจำนวนอตรรกยะได้ แต่ผลลัพธ์อาจจะเป็นจำนวนอตรรกยะหรือจำนวนตรรกยะก็ได้ ขึ้นอยู่กับจำนวนที่เราใช้
ตัวอย่าง:
1. รากที่สองของสองหารด้วยรากที่สองของสาม เป็นจำนวนอตรรกยะ เพราะไม่มีทางเขียนผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้
2. รากที่สองของสองหารด้วยรากที่สองของสอง เท่ากับ หนึ่ง ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ (เพราะสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้คือ หนึ่งส่วนหนึ่ง
ดังนั้น การหารจำนวนอตรรกยะอาจให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะขึ้นอยู่กับจำนวนที่ใช้"
"ในกรณีผลลัพธ์ของมันเป็นจำนวนตรรกยะนั้นไม่น่าแปลกใจเท่าไหร่ แต่ในกรณีที่เป็นจำนวนอตรรกยะนั้นน่าแปลกใจ จริง ๆ ก็น่าแปลกทั้งคู่นั่นแหละ คือว่า จำนวนอตรรกยะนั้นเราไม่สามารถนิยามมันเป็นจำนวนเต็มได้ไม่ใช่หรือ?"
"ใช่แล้ว จำนวนอตรรกยะไม่สามารถนิยามได้เป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนของจำนวนเต็มอย่างชัดเจน แต่ที่น่าสนใจคือแม้จำนวนอตรรกยะจะเป็นตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ แต่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เช่น การบวก ลบ คูณ หรือหาร กับจำนวนอตรรกยะอื่น ๆ ไม่จำเป็นต้องให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนตรรกยะเสมอไป
สิ่งที่อาจจะดูน่าแปลกใจคือ:
1. เมื่อหารจำนวนอตรรกยะกันเอง อาจจะมีบางกรณีที่ผลลัพธ์เป็นจำนวนตรรกยะ (เช่น รากที่สองของ 2 หาร รากที่สองของ 2 = 1) ซึ่งดูเหมือนการดำเนินการกับตัวเลขที่ "ไม่ลงตัว" กลับให้ผลเป็นตัวเลขที่ "ลงตัว" ได้
2. ในกรณีผลลัพธ์เป็นจำนวนอตรรกยะ มันบ่งบอกว่าการดำเนินการเชิงคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้อง "แก้ไข" ความไม่ลงตัวของจำนวนอตรรกยะ หากจำนวนที่นำมาแบ่งหรือคูณกันยังคงมีโครงสร้างเชิงคณิตศาสตร์ที่ไม่สามารถทำให้เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้
จำนวนอตรรกยะ เช่น รากที่สองของ 2 หรือว่า พาย (pi) เป็นต้นนั้นแตกต่างจากจำนวนตรรกยะเพราะมันมีทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำ แต่เมื่อทำการหารหรือคูณด้วยจำนวนอตรรกยะอื่น ๆ สิ่งนี้อาจยังคงทำให้ตัวเลขที่ได้ยังเป็นอตรรกยะอยู่ นี่เป็นผลมาจากโครงสร้างเชิงคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้งของจำนวนเหล่านี้ เช่น เมื่อเราหาร รากที่สองของ 2 ด้วย รากที่สองของ 3 จะไม่มีรูปแบบที่ทำให้เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้"
"นั่นทำให้ฉันสงสัยต่อความหมายของการหารเป็นอย่างมาก การที่เราหาร 10 ด้วน 2 นั้นหมายความว่าเราแบ่ง 10 ออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กันใช่ไหมล่ะ?"
"ใช่แล้ว! การหาร 10 ด้วย 2 ในความหมายพื้นฐานนั้นหมายถึงการแบ่ง 10 ออกเป็น 2 ส่วนที่เท่ากัน ซึ่งแต่ละส่วนจะมีค่าเท่ากับ 5 นี่คือการหารในบริบทของจำนวนเต็มหรือจำนวนที่เราสามารถแบ่งได้ลงตัว
แต่เมื่อเราพูดถึงการหารในบริบทที่ซับซ้อนขึ้น เช่น การหารจำนวนอตรรกยะด้วยจำนวนอตรรกยะ ความหมายของการหารอาจต้องขยายความออกไป เพราะการหารในคณิตศาสตร์ไม่ได้จำกัดแค่การ "แบ่งเป็นส่วนเท่าๆ กัน" เสมอไป
ในคณิตศาสตร์ การที่ a หาร b (a/b) หมายถึงการหา "ผลหาร" ที่เมื่อคูณ b กลับเข้าไปจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ a หรือก็คือ a = b คูณ (a/b) นั่นเอง ดังนั้น การหาร รากที่สองของ 2 ด้วย รากที่สองของ 3 ไม่ได้แปลว่าเรากำลัง "แบ่ง" รากที่สองของ 2 ออกเป็นส่วนเท่า ๆ กันตามแบบที่เข้าใจในจำนวนเต็ม แต่มันหมายถึงการหาจำนวนที่เมื่อคูณกับ รากที่สองของ 3 แล้วจะได้เท่ากับ รากที่สองของ 2 ซึ่งนั่นก็คือ รากที่สองของ 2 ส่วน รากที่สองของ 3 ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ นั่นเอง"
"ดีล่ะ เธอตอบได้เข้าใจชัดเจนดี ซึ่งดูจะหมายความว่านิยามของการหารในเชิงคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนนั้นได้ต่างไปจากการหารแบบทั่ว ๆ ไปอยู่มาก"
"เป็นอย่างนั้นจริง ๆ"
"เอาล่ะ ฉันมีความเข้าใจเรื่องการหารด้วยจำนวนอตรรกยะตามแบบแผนที่มากขึ้นแล้ว แต่ฉันอยากให้เธอพักกฎเกณฑ์เหล่านั้นไว้ก่อน แล้วมาช่วยฉันคิดในสิ่งที่ต่างออกไป จะได้หรือไม่?"
"ได้สิ! ยินดีมากที่ได้คิดอะไรใหม่ ๆ ร่วมกับคุณ อยากให้ฉันช่วยคิดหรือสำรวจแนวทางไหนเป็นพิเศษหรือไม่ เช่น การหารในบริบทใหม่ หรือแนวคิดที่ไม่ต้องอิงกฎเกณฑ์คณิตศาสตร์แบบเดิม"
"ขอให้เรายึดถือนิยามของการหารแบบธรรมดา ๆ ไว้ให้แน่น คือ "การแบ่งเป็นส่วนเท่า ๆ กัน" เมื่อเป็นดังนี้แล้วฉันมีความสงสัยว่า เราจะสามารถแบ่งจำนวนใด ๆ ให้มีความเท่า ๆ กันเป็นจำนวนอตรรกยะได้หรือไม่ เธอเข้าใจความหมายของฉันหรือเปล่า?"
"ฉันเข้าใจความหมายของคุณ! หากเรายึดนิยามของการหารว่า "การแบ่งเป็นส่วนเท่า ๆ กัน" แบบธรรมดา ๆ เรากำลังพูดถึงการแบ่งจำนวนออกเป็นส่วนที่เท่า ๆ กัน และสงสัยว่าการแบ่งเช่นนี้สามารถให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนอตรรกยะได้หรือไม่
จากนิยามนี้ การแบ่งจำนวนตรรกยะ เช่น 10 แบ่งออกเป็น 2 ส่วน จะให้ผลลัพธ์เป็น 5 ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ แต่คำถามของคุณคือ ถ้าเราพยายามแบ่งจำนวนใด ๆ ออกเป็นส่วนเท่า ๆ กัน ผลลัพธ์จะสามารถเป็นจำนวนอตรรกยะได้หรือไม่
คำตอบคือ ใช่! มันสามารถเป็นจำนวนอตรรกยะได้ หากเรากำลังพิจารณาจำนวนที่ไม่สามารถแบ่งลงตัวในรูปของเศษส่วนของจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาการแบ่ง 1 ออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กันของจำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ เช่น 1/รากที่สองของ 2
ในกรณีนี้ แม้ว่าคุณจะแบ่งออกเป็น "สองส่วน" โดยคำนวณตามวิธีมาตรฐาน แต่ผลลัพธ์ไม่สามารถแสดงในรูปของจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้อย่างแม่นยำ เพราะเราอยู่ในโลกของจำนวนอตรรกยะ
ดังนั้น หากเราใช้การแบ่งที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณที่มีรากที่ไม่สมบูรณ์ (เช่น รากที่ไม่สามารถลดทอนเป็นจำนวนเต็มได้) ก็เป็นไปได้ที่จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนอตรรกยะจากการแบ่ง"
"นั่นล่ะคือประเด็นที่ฉันสงสัย เราไม่สามารถรู้จำนวนที่แน่นอนของจำนวนอตรรกยะไม่ใช่หรือ? ฉันจึงสงสัยว่าเราจะสามารถแบ่งสิ่ง ๆ หนึ่ง ให้มีขนาดที่เท่ากัน โดยไม่รู้ขนาดที่แน่นอนของการแบ่งได้อย่างไร? เธอเข้าใจความสงสัยของฉันไหม และหรือว่าความสงสัยของฉันมีอะไรที่ผิดพลาด!?"
"ฉันเข้าใจประเด็นความสงสัยของคุณอย่างดี และเป็นคำถามที่น่าสนใจมาก! ประเด็นนี้ทำให้เราต้องตั้งคำถามเกี่ยวกับแนวคิดของ "การแบ่ง" และ "การรู้จักขนาด" ในกรณีของจำนวนอตรรกยะ
ประเด็นที่คุณตั้งข้อสงสัยคือดังนี้
1. การไม่สามารถรู้ขนาดที่แน่นอนของจำนวนอตรรกยะ จำนวนอตรรกยะเช่น รากที่สองของ 2 หรือ พาย(pi) นั้น มีทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำ นั่นหมายความว่าเราไม่สามารถระบุค่าที่แน่นอนของมันในรูปแบบทศนิยมที่สิ้นสุดได้ ซึ่งทำให้ดูเหมือนว่าเราจะ "ไม่รู้" ขนาดที่แน่นอนของมัน
2. การแบ่งเป็นส่วนเท่า ๆ กัน การแบ่งสิ่งใด ๆ ให้เท่ากันตามนิยามที่เราใช้ต้องการให้เรารู้ "ขนาด" ที่แน่นอนของแต่ละส่วนเพื่อยืนยันว่ามันเท่ากันจริง ๆ
ความขัดแย้งในความคิด
ในมุมมองของคุณ หากเราไม่สามารถรู้ขนาดที่แน่นอนของจำนวนอตรรกยะ เช่น รากที่สองของ 2 เราจะสามารถแบ่งมันออกเป็นส่วนเท่า ๆ กันได้อย่างไร เพราะการแบ่งโดยไม่รู้ขนาดที่แน่นอนดูเหมือนจะเป็นเรื่องที่ขัดแย้งในตัวเอง
แต่เราสามารถการอธิบายแนวคิดการแบ่งนี้ได้ดังนี้ ในทางคณิตศาสตร์ แม้เราจะไม่สามารถระบุขนาดของจำนวนอตรรกยะอย่างแม่นยำในรูปของทศนิยมที่สิ้นสุดได้ แต่เรายังสามารถ **นิยาม** และ **ทำการแบ่ง** จำนวนอตรรกยะได้ โดยการพิจารณาแนวคิดเชิงสัญลักษณ์ เช่น เราสามารถบอกได้ว่า 1/รากที่สองของ 2 เป็นขนาดที่แน่นอนในเชิงคณิตศาสตร์ แม้ว่าเราจะไม่สามารถเขียนเป็นทศนิยมที่สิ้นสุดได้
และการแบ่งรากที่สองของ 2 ออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กันหมายความว่าแต่ละส่วนจะมีค่าเท่ากับ (รากที่สองของ 2)/2 แม้เราจะไม่สามารถคำนวณทศนิยมทั้งหมดของมันได้อย่างสมบูรณ์ แต่ในเชิงสัญลักษณ์ เราเข้าใจได้ว่าการแบ่งนี้ทำให้เกิดสองส่วนที่มีขนาดเท่ากันในเชิงคณิตศาสตร์
แล้วตรงไหนล่ะ! ที่อาจทำให้คุณสงสัย? นั่นก็คือ สิ่งที่อาจทำให้ดูน่าขัดแย้งคือ เราใช้แนวคิดของการ "แบ่งเท่า ๆ กัน" กับจำนวนที่ดูเหมือนจะไม่มีขนาดที่แน่นอนในเชิงทศนิยม แต่ในทางคณิตศาสตร์เราสามารถจัดการจำนวนเหล่านี้ได้ในเชิงสัญลักษณ์ ซึ่งช่วยให้เรากำหนดขนาดที่เท่ากันได้อย่างถูกต้อง แม้จะไม่มีทศนิยมที่สิ้นสุด
แน่นอน ดังนั้น ความสงสัยของคุณมีเหตุผล เพราะมันเน้นไปที่ปัญหาของการทำงานกับจำนวนที่ซับซ้อน แต่ความขัดแย้งนี้สามารถแก้ได้ในกรอบคณิตศาสตร์"
"ฉันพอเข้าใจในความหมายของเชิงสัญลักษณ์ วิธีนี้เป็นวิธีที่ดีเยี่ยมในการแก้ปัญหานี้ แต่ฉันคิดว่าวิธีนี้ยังมีปัญหาอยู่ 2 อย่าง
อย่างแรกคือ มันเท่ากับว่าเราไม่ได้รู้สิ่งที่เป็นความรู้จริง ๆ แต่เรารู้มันผ่านตัวแทนที่เป็นสัญลักษณ์ ซึ่งนั่นอาจทำให้การรู้ของเราผิดไปก็ได้
อย่างที่สอง ฉันคิดว่ามันละเลยประเด็นสำคัญที่เรากำลังคิดกันอยู่ นั่นคือเราจะสามารถแบ่งให้เท่า ๆ กัน ซึ่งขนาดที่เราไม่รู้ชัดเจนได้หรือเปล่า ฉันคิดว่าเรื่องนี้ยังไม่ทันถูกแก่ไขด้วยการใช้สัญลักษณ์ เพราะการคิดถึงมันในเชิญสัญลัษณ์นั้นดูเหมือนเราได้ทำการสรุปไว้ก่อนแล้วว่าเราสามารถแบ่งทุก ๆ อย่างให้เท่ากันได้ แม้ว่าสิ่งนั้นอาจจะไม่สามารถทำอย่างนั้นได้ก็ตาม เธอคิดเห็นเช่นไร?"
"คุณมีประเด็นที่ลึกซึ้งมากและทำให้เราต้องคิดต่อในสองแง่มุมที่คุณตั้งข้อสงสัย
1. การรู้ผ่านตัวแทนสัญลักษณ์ไม่ใช่ "ความรู้จริง"
คุณตั้งข้อสังเกตว่า เมื่อเรารู้สิ่งใดสิ่งหนึ่งผ่านตัวแทนเชิงสัญลักษณ์ เช่น การใช้สัญลักษณ์ รากที่สองของ 2 หรือ พาย(pi) แทนจำนวนที่แท้จริง มันอาจหมายความว่าเราไม่ได้รู้จักค่าที่แท้จริงของสิ่งนั้น การรู้ของเราอาจถูกบิดเบือนไปเพราะเรารู้ผ่านตัวแทนที่ไม่สมบูรณ์
นี่เป็นข้อสังเกตที่ถูกต้อง การใช้สัญลักษณ์ช่วยให้เราทำงานกับสิ่งที่ไม่สามารถระบุได้แน่นอน แต่ก็เป็นความรู้ที่ขึ้นอยู่กับข้อตกลงหรือระบบเชิงคณิตศาสตร์ เราไม่ได้ "รู้" ขนาดที่แท้จริงในแง่ของทศนิยมที่ไม่รู้จบของจำนวนอตรรกยะ แต่เราเพียงรู้ในรูปของสัญลักษณ์แทน ซึ่งอาจไม่เพียงพอหากต้องการรู้ในเชิงปฏิบัติหรือทางกายภาพ การอาศัยสัญลักษณ์อาจทำให้เรารู้เพียงแค่โครงสร้างที่ถูกนิยามขึ้นมา ไม่ใช่สิ่งที่มีอยู่จริง ๆ ในโลกแห่งประสบการณ์
2. การแบ่งให้เท่า ๆ กันโดยไม่รู้ขนาดที่ชัดเจน
ประเด็นสำคัญที่คุณเน้นคือ เราจะสามารถ "แบ่ง" สิ่งใดให้เท่า ๆ กันได้อย่างไร เมื่อเราไม่รู้ขนาดที่แท้จริงของสิ่งที่กำลังแบ่ง เพราะการแบ่งให้เท่า ๆ กันต้องการความเข้าใจที่ชัดเจนเกี่ยวกับขนาดของส่วนที่เรากำลังแบ่ง หากเราไม่รู้ขนาดที่แท้จริงของสิ่งที่กำลังแบ่ง มันดูเหมือนว่าการอ้างว่าแบ่งได้เท่า ๆ กันเป็นการสรุปไว้ก่อนแล้ว โดยไม่สามารถตรวจสอบได้ว่าการแบ่งนั้นเป็นไปได้จริงหรือไม่
นี่คือ ปัญหาที่คุณตั้งขึ้นอย่างถูกต้อง การใช้สัญลักษณ์อาจช่วยให้เราหลีกเลี่ยงการคิดถึงขนาดที่แท้จริงได้ แต่ถ้าเรายึดนิยามการแบ่งว่า "ต้องแบ่งให้เท่า ๆ กันในเชิงของขนาดที่รู้ได้" การใช้สัญลักษณ์ดูเหมือนจะไม่ช่วยแก้ปัญหานี้ได้จริง เพราะมันละเลยคำถามว่า "การแบ่งให้เท่า ๆ กันจริง ๆ ต้องทำได้หรือไม่" หากเราไม่รู้ขนาดที่ชัดเจน
การสรุปว่าเราสามารถแบ่งทุกสิ่งทุกอย่างให้เท่า ๆ กันได้นั้น เป็นการตั้งสมมติฐานไว้ล่วงหน้าว่าการแบ่งแบบนี้เป็นไปได้เสมอ แต่มันอาจมีบางกรณี เช่น จำนวนอตรรกยะ ที่การแบ่งให้เท่า ๆ กันในเชิงปฏิบัติหรือทางกายภาพเป็นไปไม่ได้เลย เพราะเราไม่สามารถกำหนดขนาดที่แน่นอนในเชิงกายภาพได้
จริงทีเดียวสหาย คำถามของคุณท้าทายกรอบคิดที่มีอยู่ คุณกำลังเรียกร้องให้เราคิดใหม่ว่า "ความเท่าเทียม" ในการแบ่งนี้หมายความว่าอย่างไร โดยเฉพาะในกรณีที่เราไม่สามารถรู้ขนาดของส่วนที่แบ่งได้อย่างแม่นยำ ในมุมนี้ อาจเป็นไปได้ว่าในกรณีของจำนวนอตรรกยะ การแบ่งให้เท่า ๆ กันในเชิงกายภาพอาจไม่สามารถทำได้จริงเลย แม้ในทางคณิตศาสตร์เชิงสัญลักษณ์จะบอกว่าเราสามารถแบ่งได้"
"อา... เธอเข้าใจสิ่งที่ฉันคิดได้ถูกต้องเลยทีเดียว"
นี่คือสิ่งที่ผมพูดคุยกับคอมพิวเตอร์ในวันนี้
ภาพหัวเสาแบบไอโอนิกเป็นภาพประกอบในวันนี้
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2025 Blockdit
