Blockdit Logo (Mobile)
ติวไปด้วยกัน
•
18 ก.ย. เวลา 12:19 • การศึกษา

ซัก MATH ปะ ? - เซต: สูตร Inclusion-Exclusion

วันนี้เราลองหยิบโจทย์วิชาคณิตศาสตร์ในหัวข้อเรื่อง "เซต" มาให้ได้ลองทำกัน สำหรับเด็ก ๆ ที่ต้องไปสอบ A-Level ยิ่งต้องลองทำเลยนะ ลองดู ๆ
โจทย์: โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียน 60 คน มีชมรม 3 ชมรม ได้แก่ ชมรมวิทยาศาสตร์ ชมรมภาษาอังกฤษ และชมรมดนตรี
• ชมรมวิทยาศาสตร์มีสมาชิก 25 คน
• ชมรมภาษาอังกฤษมีสมาชิก 20 คน
• ชมรมดนตรีมีสมาชิก 30 คน
• มี 8 คนที่อยู่ภาษาอังกฤษแต่ไม่อยู่วิทยาศาสตร์
• มี 12 คนที่อยู่ดนตรีแต่ไม่อยู่วิทยาศาสตร์
• มี 10 คนที่อยู่ภาษาอังกฤษแต่ไม่อยู่ดนตรี
• มีนักเรียน 5 คนที่ไม่ได้อยู่ชมรมใดเลย
จากข้อมูลทั้งหมดที่ให้มานี้จะมีนักเรียนที่อยู่ในทั้ง 3 ชมรม จำนวนกี่คน ?
ลองค่อย ๆ คิดหาคำตอบกันดูนะฮะ ก่อนที่จะไปดูเฉลยด้านล่างนะ
มาดูวิธีการคิดพร้อมเฉลยกันฮะ
• นักเรียนที่อยู่ชมรมอย่างน้อย 1 ชมรม คือ 60 - 5 = 55
• หาคนที่อยู่ทั้งภาษาอังกฤษและวิทยาศาสตร์ หาจาก
{Eng} = 20 และ {Non-Sci} = 8 ดังนั้น 20 - 8 = 12
นั่นเท่ากับว่า {Eng ∩ Sci} = 12
• หาคนที่อยู่ทั้งดนตรีและวิทยาศาสตร์
{Mus} = 30 และ {Non-Sci} = 12 ดังนั้น 30 - 12 = 18
นั่นเท่ากับว่า {Mus ∩ Sci} = 18
• หาคนที่อยู่ทั้งภาษาอังกฤษและดนตรี
{Eng} = 20 และ {Non-Mus} = 10 ดังนั้น 20 - 10 = 10
นั่นเท่ากับว่า {Eng ∩ Mus} = 10
• ใช้สูตร Inclusion-Exclusion
{𝑆ci ∪ 𝐸ng ∪ 𝑀us} = {Sci} + {Eng} + {Mus} - {Sci ∩ Eng} - {Sci ∩ Mus} - {Eng ∩ Mus} + {𝑆ci ∩ 𝐸ng ∩ 𝑀us}
แทนค่าจากข้อมูลที่เราได้มา
55 = 25 + 20 + 30 - 12 - 18 - 10 + {𝑆ci ∩ 𝐸ng ∩ 𝑀us}
55 = 75 - 40 + {𝑆ci ∩ 𝐸ng ∩ 𝑀us}
55 = 35 + {𝑆ci ∩ 𝐸ng ∩ 𝑀us}
ดังนั้น {𝑆ci ∩ 𝐸ng ∩ 𝑀us} = 20
สูตร Inclusion-Exclusion คือ หลักการนับจำนวนสมาชิกในเซตที่ซ้อนทับกัน โดยแก้ปัญหาการ “นับซ้ำ” ด้วยการบวก ลบ และบวกกลับตามลำดับของการซ้อนทับ ใช้ได้ทั้งกับ 2 เซต, 3 เซต และทั่วไปกับ 𝑛 เซต
• สูตรสำหรับ 2 เซต
{A U B} = {A} + {B} - {A ∩ B}
คือ จำนวนสมาชิกของเซต A รวมกับเชต B จากนั้นก็ลบด้วยจำนวนสมาชิกที่ซ้ำกันทั้งเชต A และ B
• สูตรสำหรับ 3 เซต
{A ∪ B ∪ C} = {A} + {B} + {C} - {A ∩ B} - {A ∩ C} - {B ∩ C} + {A ∩ B ∩ C}
คือ จำนวนสมาชิกของเซต A รวมกับเซต B รวมกับเซต C และลบออกด้วยเซต A ซ้ำกับ B ลบด้วยเชต A ซ้ำกับ C และเชต B ซ้ำกับ C และบวกกลับด้วยเชต A ซ้ำกับเซต B ซ้ำกับเซต C
โฆษณา