เรื่องที่ไม่ต้องรู้ก็ได้ ~ เกี่ยวกับ Gacha Rate ของเกมที่เรารัก
คลิปประกอบการอธิบายครับ :
![[MATH IN THE GAME] ขอมีการันตีได้ไหมครับ!!! | SUMMONERS WAR SKY ARENA](https://t1.blockdit.com/photos/2023/11/6560e9986e0a031b8f2a7384_800x0xcover_u8g9BRg3.jpg)
เรื่องเริ่มจากมีอยู่ช่วงหนึ่งที่ผมดูสตรีมเมอร์หลายๆ คนเปิด Scroll กันแล้วได้ 5 ดาวกันเยอะมากหรืออย่างน้อยๆ ก็ได้ 1 ตัว
ซึ่งเมื่อได้เห็นแล้วเนี่ย ใจผมก็อยากเปิดตามเลยเข้าเกมไปเปิดบ้างแล้วก็ได้ขึ้นมาจริงๆ
ฟังดูงมงาย แต่ก็มันมีรูปแบบที่น่าสนใจอยู่ตรงที่บางครั้งแม้จะมี Scroll เยอะมากแค่ไหนก็ตามแต่ 5 ดาวก็ไม่เคยออกมาเลยก็มีเช่นกัน
ราวกับว่าเกมได้รับพารามิเตอร์ตัวหนึ่งในช่วงเวลานั้นๆ เข้าไปแล้วบังคับใช้ทั้ง server ยังไงยังงั้น
แต่ก่อนหน้านั้นเรามาดูกันก่อนว่ากาชาของเกมนี้มีความน่าสนใจยังไงโดยเริ่มจาก
โดยปกติแล้วถ้าเราเขียนว่ามีโอกาสได้รับอะไรบางอย่าง 0.5% หรือ 1 ใน 200 ทุกคนจะรู้สึกยังไงครับ?
โอกาสในการออก 3 ธาตุหลักของเกม SMW
พวกเราก็จะรู้สึกว่าถ้าสมมติเรามีโอกาสทดลองสุ่มสัก 200 ครั้ง 1 ในจำนวนครั้งของการทดลองนั้นก็ต้องได้ของที่ต้องการแน่ๆ
ไม่ต่างจากการหยิบลูกบอลสีดำที่มี 1 ลูกออกจากถุงแบบสุ่ม มันก็ต้องมีสักครั้งที่ได้ลูกบอลสีดำลูกนั้นออกมา
ถ้าดวงแย่ๆ หน่อยแต่มันก็ต้องออกมาในครั้งสุดท้ายที่เหลือลูกบอล 1 ลูกในถุงถูกไหมครับ
แต่ว่าถ้าเกิดสถานการณ์เช่นนี้ขึ้นล่ะครับ เมื่อเราหยิบลูกบอลออกมาแล้วใส่กลับเข้าไปในถุงนั้นเหมือนเดิมจะเกิดอะไรขึ้น?
ก็จะกลายเป็นว่าก็จะมีโอกาสที่ต่อให้สุ่มหยิบไปกี่รอบก็ตามก็ไม่มีทางที่จะหยิบลูกบอลสีดำได้เลยอยู่เหมือนกัน
สถานการณ์เช่นนี้ก็ไม่ต่างจากการเปิดกาชามากนัก เพราะ ในสถานการณ์ที่หนึ่งความน่าจะเป็นเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เพราะ จำนวนของที่เหลือลดลงเรื่อยๆ จนสุดท้ายความน่าจะเป็นก็กลายเป็น 1 หรือได้แน่ๆ ไม่ต่างจากการการันตี เหลือเพียงแค่ดวงว่าจะออกตอนไหน
แต่ว่าน่าเสียดายที่เกมที่เรารักไม่ได้ทำเช่นนั้น แต่เข้าเงื่อนไขในกรณีที่สองนั่นก็คือโอกาสที่เราจะได้นั่นเท่าเดิมเสมอ ถ้าเราเปิด 200 ทีแล้วถ้าเราไม่ได้แน่ๆ 1 ครั้งแล้วความน่าจะเป็นที่จะได้ 5 ดาว 1 ครั้งจะเป็นเท่าไหร่กันแน่?
ซึ่งจากสถานการณ์กำหนดให้โอกาสที่ได้ 5 ดาวแท้คือ 0.005 และโอกาสที่จะไม่ได้ 5 ดาวคือ 0.995 ในการเปิด scroll 200 ใบแล้วเปิดได้ 5 ดาว 1 ใบก็จะได้ว่า
กรณีที่ 1 : เปิดได้ในครั้งที่ 1
1. ได้ในครั้งแรกมีความน่าจะเป็น 0.005
2. ไม่ได้ในครั้งที่ 2 มีความน่าจะเป็น 0.995
3. ไม่ได้ในครั้งที่ 3 มีความน่าจะเป็น 0.995
...
200. ไม่ได้ในคครั้งที่ 200 มีความน่าจะเป็น 0.995
จากหลักการคูณความน่าจะเป็นที่จะเกิดกรณีที่ 1 คือ 0.005 x 0.995^199
กรณีที่ 2 : เปิดได้ในครั้งที่ 2
1. ไม่ได้ในครั้งแรกมีความน่าจะเป็น 0.995
2. ได้ในครั้งที่ 2 มีความน่าจะเป็น 0.005
3. ไม่ได้ในครั้งที่ 3 มีความน่าจะเป็น 0.995
...
200. ไม่ได้ในครั้งที่ 200 มีความน่าจะเป็น 0.995
จากหลักการคูณความน่าจะเป็นที่จะเกิดกรณีที่ 2 คือ 0.005 x 0.995^199
...
กรณีที่ 200 : เปิดได้ในครั้งที่ 200
1. ไม่ได้ในครั้งแรกมีความน่าจะเป็น 0.995
2. ไม่ได้ในครั้งที่ 2 มีความน่าจะเป็น 0.995
3. ไม่ได้ในครั้งที่ 3 มีความน่าจะเป็น 0.995
...
200. ได้ในครั้งที่ 200 มีความน่าจะเป็น 0.005
จากหลักการคูณความน่าจะเป็นที่จะเกิดกรณีที่ 200 คือ 0.005 x 0.995^199
จากหลักการบวกความน่าจะเป็นในการเปิด scroll 200 ใบแล้วได้ 5 ดาว 1 ครั้งจะมีความน่าจะเป็นอยู่ที่ 200 x 0.005 x 0.995^199 ซึ่งมีค่าประมาณ 0.3688
คำนวณผลที่ได้จากการคูณ (1)
หรือหากใครสังเกตได้ว่าการทดลองที่มีผลลัพธ์ 2 ทางแบบนี้เป็นการทดลองสุ่มแบบแบร์นูลลี (Bernoulli trial) ซึ่งเราสามารถใช้สมการความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบทวินาม (Binomial Distribution) ที่ไม่ต่อเนื่องได้
Binomaial Distribution
(สามารถดูการพิสูจน์ได้จากในคลิปเลยนะครับ)
ซึ่งความน่าจะเป็นนี้ไม่ได้หมายถึงว่าจะได้ 5 ดาว 1 ใน 3 (นิดๆ) ครั้งจาก 200 ครั้งที่เปิด แต่หมายถึงมีโอกาสได้ 5 ดาว 1 ครั้งเป็น 1 ใน 3 (นิดๆ)
(ให้นึกถึงการเป่ายิ้งฉุบที่ถ้าเล่น 3 ครั้งก็ไม่ได้ชนะ 1 ใน 3 ครั้งแต่เป็นการบอกว่าในแต่ละรอบมีโอกาสชนะ 1 ใน 3 นั่นเอง)
ซึ่งหากลองพิจารณาโอกาสที่จะไม่ได้ 5 ดาวเลยมีความน่าจะเป็นอยู่ที่ 0.995^200 หรือก็คือมีค่าประมาณ 0.3670 ซึ่งก็มีค่าประมาณพอๆ กับการเปิดได้ 1 ครั้งนั่นเอง
คำนวณผลลัพธ์จากการคูณ (2)
ในส่วนที่เหลือนั่นก็คือความน่าจะเป็นที่เราจะได้ 5 ดาวมากกว่า 1 ครั้งซึ่งก็มีค่าประมาณ 1-0.3670-0.3688 = 0.2642 นั่นเองครับ
แต่บางครั้งมันก็จะมีคำพูดที่ว่า "ถ้ามีคัมภีร์เท่านั้นเท่านี้ใบเราคาดหวังเท่านั้นเท่านี้ตัว"
ซึ่งหากเราลองคิดเช่นนี้และลองสมมติว่าเปิดด้วย scroll เท่าไหร่ก็ได้คาดหวังให้ 5 ดาวออก 1 ครั้งดูจะเกิดอะไรขึ้น
1. ถ้าหากเรามีเพียง 1 ใบความน่าจะเป็นก็คือ 0.005
2. ถ้าหากเราเปิด 50 ใบความน่าจะเป็นจะอยู่ที่ 0.1956
3. ถ้าหากเราเปิด 100 ใบความน่าจะเป็นจะอยู่ที่ 0.3044
...
5. ถ้าหากเราเปิด 200 ใบความน่าจะเป็นจะอยู่ที่ 0.3688
6. ถ้าหากเราเปิด 250 ใบความน่าจะเป็นจะอยู่ที่ 0.3588
...
13. ถ้าหากเราเปิด 600 ใบความน่าจะเป็นจะอยู่ที่ 0.1490
ความน่าจะเป็นเมื่อมี Scroll บางจำนวน
จากการสังเกตจะพบว่าความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นและค่อยๆ ลดลงหลังจากถ้ามี 200 ใบขึ้น
ทำไมความน่าจะเป็นในการได้ถึงลดลงทั้งที่เรามี scroll เยอะกว่าแท้ๆ โอกาสที่เราจะได้ก็น่าจะเยอะขึ้นสิ เพราะ มีโอกาสได้เปิดมากขึ้น แต่ทำไมมันถึงเป็นเช่นนั้น
นั่นก็เพราะผลลัพธ์แต่ละผลลัพธ์ไม่ได้มีจำนวนเท่ากันทั้งหมดหรือก็คือมีการถ่วงน้ำหนักกันเกิดขึ้นนั่นเองครับ
(ให้นึกถึง Tablo ที่สกิลเล่นกับเลข 7 ที่มีโอกาสได้มากที่สุดคือ 6 ใน 36 ถ้าไม่ได้ก็แค่ Unlucky 7 เองครับ555)
ผลรวมค่าที่ได้จากการทอยลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง
สมมติในที่นี่จำนวนครั้งที่จะเปิดกาชาแล้วได้ 5 ดาวเป็นได้ตั้งแต่ 0 ครั้ง, 1 ครั้ง, 2 ครั้ง, ... 200 ครั้ง เราจะเรียกสิ่งนี้ว่า "ค่าของตัวแปรสุ่ม" ครับ
ซึ่งค่าที่ได้ก็จะมีโอกาสลู่เข้าค่าที่ปรากฏบ่อยสุดนั่นเอง
(หรือก็คือความน่าจะเป็นที่มากที่สุดของค่าของตัวแปรสุ่มที่เกิดขึ้น)
ซึ่งเราสามารถหาค่าได้จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก ซึ่งในที่นี่เรียกว่า "ค่าคาดหวัง" ซึ่งเป็นค่าที่เราสามารถให้คาดหวังให้ออกได้
(สามารถดูการพิสูจน์ได้จากวิดิโอเช่นกันครับ)
ซึ่งค่าคาดหวังของการกระจายแบบทวินาม E(X) คือ จำนวนครั้งที่ทดลองสุ่ม (n) x โอกาสที่สนใจหรือสำเร็จ แล้วเรามาลองแทนค่าในแต่ละกรณีดูครับ
1. n = 1 ; E(X) = 0.005
2. n = 50 ; E(X) = 0.25
3. n = 100 ; E(X) = 0.5
...
ค่าคาดหวังในบางกรณี
จากการสังเกตเราจะพบว่าค่าคาดหมายนั้นเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ นั้นหมายถึงความน่าจะเป็นของการเปิดได้ตามจำนวนครั้งของค่าคาดหวังนั้นมีมากที่สุด
เช่น เมื่อ n = 600 , E(X) = 3 เมื่อเราหาความน่าจะเป็นที่ถ้าเปิด 600 ใบแล้วได้ 3 ครั้งจะมีค่าประมาณ 0.2246 ซึ่งมีค่ามากกว่า 0.1490 ซึ่งเป็นความน่าจะป็นของการมี 600 ใบแล้วเปิดแค่ 1 ครั้งนั่นเองครับ
คำนวณความน่าจะเป็นของ 2 เหตุการณ์
ซึ่งที่เราบอกว่าตามเรท หมายถึง ค่าคาดหวังบ่งบอกว่าเรามีโอกาสได้มากที่สุดคือค่านั้นนั่นเองครับ
และเกมที่ดีก็คือเกมที่ควรจะควบคุม Rate การออกให้เป็นไปตามนั้น (ซึ่งเกมนี้เป็นไปตามนั้นรึเปล่านะครับ?555)
แต่ว่าคำถามเราจะรู้ได้ยังไงว่าเกมสามารถทำแบบนั้นได้ เพราะว่า เกมก็ไม่ได้จดจำว่าเราก่อนหน้านั้นเราเปิดไปแล้วกี่ roll
(ซึ่งบางครั้งเกมก็สามารถจำและนำไปเป็นพารามิเตอร์ได้เช่นกัน)
และแถมแต่ละครั้งเซตคำตอบก็ถูกสร้างขึ้นมาด้วยพารามิเตอร์ที่ต่างกันในแต่ละครั้ง (RNG)
เราจึงต้องมองใหม่ว่าในหนึ่งกรอบเวลาที่เรากำหนดมีค่าของตัวแปรสุ่มเท่าไหร่ก็ได้ (สมมติเรามองว่าเรามีโอกาสเปิดได้ทุกหนึ่งหน่วยเวลาที่ผ่านไป)
เช่น ในเวลา 60 วินาทีเรามีอัตราการเปิดคีมภีร์ 1 ครั้งต่อ 1 วินาทีก็จะมีค่าของตัวแปรสุ่มทั้งหมด 0, 1, 2, ..., 60 ครั้ง
ซึ่งความจริงแล้วมันจะออกเสี้ยววินาทีไหนก็ได้ซึ่ง sub set ของจำนวนจริงที่เป็น [0,60] มีค่าเป็นอนันต์ (inf)
(ซึ่งมีข้อเท็จจริงคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจนั่นคือ จำนวนสมาชิกของเซต [0,1] มีค่าเท่ากับจำนวนสมาชิกของเซต [0,2] ซึ่งเราค่อยไปพิสูจน์ในคลิปอื่นนะครับ555 เพราะ ไม่ค่อยเกี่ยวกับกับ smw เท่าไหร่)
ซึ่งแม้ว่าเซตของเวลาจะเป็นเซตต่อเนื่อง แต่ค่าของตัวแปรสุ่มนั้นไม่ต่อเนื่อง (หมายถึงแบบรูป 1,2,3,4,... ไม่ได้ต่อเนื่องบนจำนวนจริงที่เป็น 1,1.000...อะไรสักอย่างที่ต่อจากหนึ่ง) เพราะ จำนวนครั้งที่เปิดได้เรานับเป็นจำนวนเต็ม
ซึ่งจำนวนครั้งของเราก็เลยเข้าใกล้ inf ก็เลยเกิดการแจกแจงแบบใหม่ที่เราจะใช้นั่นก็คือการแจกแจงแบบปัวซอง (Poisson distribution)
Poisson Distribution
โดยที่เราจะสมมติว่าทุกๆ 3 เดือนที่ SMW ออกตัวใหม่แล้วเรามี Scroll มากพอที่จะเปิดได้ 5 ดาวตัวใหม่ 3 ธาตุหลักทุกครั้ง ก็จะได้ความถี่ 3 ครั้งต่อ 3 เดือนหรือก็คือ 1 ครั้งต่อ 1 เดือน
(สมการและการพิสูจน์ก็ดูได้จากในคลิปอีกเช่นกันครับ)
เมื่อมีเงื่อนไขเช่นนี้ เราก็จะได้ความน่าจะเป็นของการที่จะเปิดได้ 5 ดาว 1 ครั้งจากค่าเฉลี่ยหรือความถี่ 1 ครั้งต่อ 1 เดือน
เราก็จะได้ว่า 1^1 x e^(-1) / 1! ก็จะมีค่าประมาณ 0.3679 ซึ่งก็มีค่าใกล้เคียงกับค่าที่ได้จากการแจกแจงทวินาม (0.3688)
คำนวณผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณ (3)
ผลลัพธ์นี้สามารถบ่งบอกได้ว่าแม้บางครั้งที่เราเปิดไปแล้วไม่ได้อะไรเลย แต่เมื่อระยะเวลาผ่านไปก็สามารถเปิดได้กลับคืนมาตามค่าคาดหวังได้หรือทำให้ความถี่กลับเป็นค่าที่ถูกกำหนดหรือเฉลี่ยไว้
ซึ่งก็อาจจะมีกรณีอย่างแสงมืดที่ถ้าไม่เติมและเก็บจากแค่ daily log in และหอ 1 ปีก็จะได้ 12+24 ใบและเศษอีกได้ประมาณ 7 ใบก็จะได้ 45 ใบ
(ยังไม่นับเควสหรือกิจกรรมอื่นที่บวกเพิ่มเข้ามา)
ซึ่งถ้าเล่นมา 9 ปีแล้วไม่เปิดเลยก็จะได้ 405 ใบกับ rate ออก 5 ดาวแสงมืด 0.35%
โอกาสในการออกธาตุแสงหรือมืดของเกม SMW
ถ้าเปิด 405 ใบคาดหวังให้ออก 1 ครั้งก็จะได้ความน่าจะเป็นจะมีค่าประมาณ 0.3438 และโอกาสที่จะไม่ออกเลยมีค่าประมาณ 0.2417
(โอกาสไม่ได้น้อยกว่าโอกาสได้ 1 ครั้งอีก เกมกำลังอยากทำให้คนที่เล่นมานานกรีดร้องอยู่ใช่ไหมครับ555)
คำนวณผลลัพธ์จากการคูณ (4)
แต่ถ้าคิดจากความถี่ที่ผมเล่นมา 843 วันได้มา 2 ตัว (เฉลี่ยเดือนละประมาณ 1/12 ตัว) ความน่าจะเป็นก็จะได้ 0.0767 ซึ่งก็ห่างจากเมื่อกี้ประมาณ 5 เท่า
คำนวณผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณ (5)
แต่นั่นเป็นโอกาสที่ได้ใน 1 เดือนถ้า 9 ปีแล้วได้ 1 ครั้งค่าเฉลี่ยก็จะน้อยกว่านั้น (โดยประมาณก็คือ 0.0092) แต่คงไม่มีใครไปถึงขั้นหรอก ... ใช่ไหมครับ555
ซึ่งความรู้ตรงนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้เลือกเวลาเปิดและคัมภีร์ขั้นต่ำที่ใช้ในการเปิดได้
เช่น กรณีแรกสุดสมมติโดยเฉลี่ยในช่วงเวลาที่เราดูสตรีมและหาค่าเฉลี่ยที่ได้ของแต่ละคนสมมติโดยเฉลี่ยแล้วเราเห็นสตรีมเมอร์เปิดได้ 4 ตัวใน 3 วัน (หรือก็คือได้ 1 ตัวใน 3/4 วัน)
ก็จะได้ความน่าจะเป็นที่เราจะได้ตามเขาใน 3 วันนั่นก็คือ 0.1954
ซึ่งเมื่อคำนวณแล้วก็จะได้ว่าใช้ Scroll อย่างน้อย 50 ใบก็มีโอกาสได้ 5 ดาว 1 ครั้งหากเราเปิดในช่วงเวลานั้นถ้าหากเกมรับพารามิเตอร์เดียวกันหรือปรับเรทให้เท่ากันทั้งหมด
ซึ่งผลจากการเก็บข้อมูลของ ID ผม 16 ครั้งพบว่าเป็นไปสมมติฐาน 12 ครั้งหรือก็คือ 75% ซึ่งก็คือในตอนนี้หากใช้เกณฑ์นี้ก็มีโอกาสได้มากขึ้นเช่นกัน
แต่ก็ต้องดูว่าค่าของผลลัพธ์ที่เราคำนวณได้มีความสัมพันธ์กันมากน้อยเช่นไร เพราะ ยังมีกรณีที่เกมคืนเรทให้เราจากการที่เราไม่ได้เปิดเลยในช่วงระยะเวลาที่ผ่านมา
ซึ่งมีความสัมพันธ์เชิงเส้นเพียง 0.4087 หรือประมาณ 40.87% เมื่อเก็บข้อมูลจาก ID ของผมในช่วงเวลาที่เริ่มเก็บข้อมูลหรือก็คือการเปิดตามสตรีมเมอร์มีผลประมาณ 40% หรือ 2 ใน 5 นั่นเอง
ทั้งหมดนี้ขึ้นอยู่กับว่าเราเก็บข้อมูลหรือมีตัวแปรให้พิจารณามากน้อยเพียงใด เพื่อให้ตอนที่เราจะเปิดมีความน่าจะเป็นสูงที่สุดเท่าที่เราจะสามารถคำนวณได้และที่เหลือก็เป็นเรื่องของการ generate ให้เราแล้วครับ
โอเคครับ หากผิดพลาดประการใดผมขออภัยมา ณ ที่นี้ครับ ครั้งหน้าผมว่าจะทำเรื่องที่จำเป็นต้องรู้บ้างดีกว่าครับ555
ขอขอบคุณที่อ่านมาจนถึงตรงนี้ด้วยนะครับ ขอบคุณมากครับผม
ข้อเพิ่มเติม : จะมีการแจกแจงอีกแบบหนึ่งคือการแจกแจงแบบอเนกนามเมื่อผลลัพธ์ที่สนใจมากกว่าสอง ซึ่งก็จะใช้ความรู้เรื่องการจัดกลุ่ม n กลุ่มใดๆ เข้ามาช่วยครับ
Multinomial Distribution
ซึ่งสามารถนำมาอธิบายหาก 5 ดาวมีโอกาสออกคือ 0.005 และ 4 ดาวมีโอกาสออกคือ 0.08 และ 3 ดาวคือ 0.915
โอกาสที่จะออกตาม rate จาก 200 ใบนั่นก็คือ 0.0382
คำนวณผลลัพธ์จากการคูณ (6)
หรือถ้าสนใจที่แค่ผ่าของ LD Scroll มีความน่าจะเป็นอยู่ที่ 0.0635 หรือก็ประมาณ 1 ใน 15.748 ปัดขึ้นได้ประมาณ 1 ใน 16 จะได้ความน่าจะเป็นประมาณ 0.3798 นั่นเองครับ
คำนวณผลลัพธ์จากการคูณ (7)
หรือคาดหวัง 5 ดาวแสงมืดจากการเปิด LD Scroll 286 ใบก็จะได้ประมาณ 0.3685
คำนวณผลลัพธ์จากการคูณ (8)
เมื่อค่าคาดหวังของเรามีค่าประมาณ 1 ครับ
- 5
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
