ปัญหาของการจับของขวัญ
ในช่วงคริสต์มาสทีกำลังจะมาถึง หลายๆโรงเรียน หลายๆบริษัทก็จะมีการจับของขวัญกัน ซึ่งแต่ละที่ก็จะมีวิธีการจับกันหลากหลายแบบ (มาแชร์ไอเดียกันได้นะครับ)
หนึ่งในวิธีการจับของขวัญท่ง่ายที่สุดก็คือ การที่ใส่ช่อทุกคนเข้าไปในกล่อง แล้วให้แต่ละคนออกมาจับฉลากว่าจะได้ของขวัญของใคร
ปัญหาที่มักจะพบ!!!
หลายๆครั้งที่ทำการจับของขวัญก็มักจะมีใครสักคนในกลุ่ม จับได้ช่อของตัวเอง
คำถามที่ตามมา
1. โอกาสที่ทุกคนจะจับไม่ได้ชื่อของตัวเองเลย
2. เราจะเลี่ยงปัญหานี้ได้ยังไง
เดียวเราลองมาพิจารณาตัวอย่างจากกลุ่มเล็กๆก่อน
(การเขียน 213 หมายถึง คนที่1(ตำแหน่ง)จับได้ชื่อคนที่2(ตัวเลข) คนที่2จับได้คนที่1 และคนที่3 จับได้ชื่อตัวเอง)
ตัวหนาคือสำเร็จ
คำถามคือ ถ้าเกิดว่ากลุ่มเรามี 10คน หรือ 100คนละ ความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จเป็นเท่าไหร?
ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อ "Derangement" หรือ การเรียงสับเปลี่ยนโดยที่ไม่มีของชิ้นใดอยู่ที่เดิม เรามักจะใช้สัญลักษณ์ !n หรือ D_n
ซึ่ง Derangement มีสูตรการประมาณที่น่าสนใจอยู่ ซึ่งก็คือ
!n สามารถประมาณค่าได้ด้วย n!/e
ยิ่ง n เยอะ ค่าจะยิ่งใกล้เคียง
ดังนั้น โอกาสที่ทุกคนจะไม่ได้รับของขวัญของตัวเองคือ !n/n! = 1/e ซึ่งประมาณ 0.3678 หรือ 36.78% นั้นหมายความว่า ไม่ว่าคนจะเยอะขนาดไหนก็ตามจะมีโอกาสเพียงแค่ประมาณ 1ใน3 ที่การจับของขวัญจะสำเร็จภายในครั้งเดียว
ก่อนที่เราจะไปถึงการแก้ปัญหา เรามาสังเกตกันก่อนว่า ในหลายๆครั้งการจับของขวัญจะแบ่งคนทั้งหมดออกเป็นกลุ่มเล็กๆ แต่การที่ผลออกมาเป็นกลุ่มใหญ่กลุ่มเดียวนั้น ทำให้การจับของขวัญรวดเร็ว และน่าสนใจมากขึ้น
เลยนำมาซึ่งคำถามว่า ความน่าจะเป็นที่ผลออกมาจะเป็นกลุ่มใหญ่นั้นมีโอกาสเท่าไหร
ตัวหนาคือจับของขวัญสำเร็จ เส้นใต้คือผลออกมาเป็น1กลุ่มใหญ่
จะสังเกตได้ว่า โอกาสที่เกิดขึ้นนั้นน้อยกว่า โอกาสท่จะจับของขวัญสำเร็จเสียอีก
ปัญหานี้เราสามารถมองเป็นปัญหา"การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม" ซึ่งถ้าเรามีคนอยู่ทั้งหมด n คน เราจะเรียงสับเปลี่ยนได้ทั้งหมด (n-1)! แบบ
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะมีผลออกมามีเพียง 1กลุ่มเท่านั้นคือ 1/n ซึ่งยิ่งเรามีคนเยอะเท่าไหร การที่จะมีเพียงกลุ่มเดียวก็จะน้อยลงเท่านั้น
แล้วเราจะแก้ปัญหานี้ได้ยังไงบ้าง
หนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุดคือ แทนที่เราจะใส่ชื่อของเพื่อนๆลงไป ให้ใส่ตัวเลขตามจำนวนคนเข้าไปแทน และให้แต่ละคนจับหมายเลขขึ้นมา แล้วให้คนที่ได้หมายเลข1 มอบของขวัญให้หมายเลข2 2ให้3 ไปเรื่อยๆจนถึงคนสุดท้าย และคนสุดท้ายก็มอบของขวัญให้คนที่ได้หมายเลข1
การทำแบบนี้เราจะสามารถแน่ใจได้ว่า
1. ไม่มีใครจับได้ของตัวเองแน่ๆ
2. จับของขวัญเสร็จในรอบเดียว
3. ทุกคนจะอยู่ในวงเดียวกันทั้งหมด
n! คือ ผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n
n! = n*(n-1)*(n-2)*....*2*1
e คือ ค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าประมาณ 2.71828
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2025 Blockdit
