Blockdit Logo (Mobile)
ThaTo
•
5 ม.ค. เวลา 18:44 • การศึกษา

บางทีนรกนั้นก็เกิดขึ้นมาได้ง่าย ๆ เพียงแค่เพราะเราหมุนกราฟ~°

video ประกอบการอธิบายครับ :
โอเคครับ ในโพสต์คำนวณดาเมจเกม SMW ในครั้งที่แล้วเนี่ยครับ ผมได้พูดถึงการหมุนกราฟใช่ไหมครับ
ซึ่งถ้าสมมติว่าคนที่งงว่า "ผมพูดถึงทำไม" , "มันเกี่ยวยังไงเหรอ" เพราะ สมการมันเป็นยังงั้น หน้าตากราฟก็ตามคู่อันดับสมการ
ใช่ครับ ตามนิยามมันก็แบบนั้นเลยครับ แต่ว่าถ้าสมมติสังเกตดูเสียหน่อย หน้าตากราฟมันก็คล้าย ๆ กับ hyperbolar ใช่ไหมครับ ในแนวเอียง ๆ
ซึ่งไม่ใช่แค่ hyperbolar แต่กราฟรูปร่างอื่น ๆ เราก็เคยเห็นบางรูปที่มันเอียงใช่ไหมครับ
Example I
หรือถ้าสมมติเราใช้ตรีโกณกับสมการเส้นตรงก็สามารถหมุนสมการเส้นตรงได้ใชไหมครับ
Slope of Linear Graphs
มันก็เลยอดไม่ได้ที่จะสงสัยว่า "ที่เราเรียนกันในมัธยมมันเป็นแค่กรณีเฉพาะรึเปล่า"
เพราะว่า ถ้าให้ไล่ลำดับ ตอนม.ต้นเราจะรู้จักกับสมการพาราโบลาที่เราจะเอามาใช้กับการแก้พหุนามกำลังสอง
แล้วตอนม.ปลายเราก็จะรู้จักกับพาราในแนวตะแคงซ้ายขวาและอื่น ๆ ในภาคตัดกรวย
และถ้าเรานำตรีโกณมาคำนวณด้วยเราก็สามารถเปลี่ยนตัวแปรต้นหรือ parameter จาก x,y เป็น r,θ ได้ซึ่งถ้าเราสร้างกราฟและหมุนมันได้จริง มันก็น่าจะมีสมการอะไรในเทอมนั้นออกมา
ซึ่งถ้าถามว่าเราอยากรู้ไปทำไมละก็ครับ มันเป็นความธรรมดาที่เราจะอยากจะหาคำตอบในรูปทั่วไปครับ ยิ่งเราหาได้ในความเป็นสากลมากแค่ไหน ขอบเขตที่สมการนั้นจะอธิบายก็มีมากขึ้นครับ เช่น
Bernoulli's Principle
จากของไหลในอุดมคติหรือบางสถานการณ์ที่กำหนดสู่รูปทั่วไปในสมการ Navier-Stokes
Navier-Stokes Equations
หรือจากสมการแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตันสู่สมการสนามของไอน์สไตน์
Gravitational Equipment
ซึ่งมันก็อาจจะผิดกับเราที่ในชีวิตประจำวัน ที่เราใช้พวกค่าต่าง ๆ มันก็ถูกกำหนดให้ใช้ในบางกรณี
แต่ถ้าเราไม่นึกถึงว่าจะเอาไปใช้อะไร แค่เอามาตอบคำามความอยากรู้ของเราได้ แค่นี้ก็สนุกแล้วครับ555
(ข้ออ้างชัด ๆ)
งั้นไหน ๆ ก็ไหน ๆ เพื่อความอยากรู้ของเรา เราก็จะมาเริ่มกันเลยดีกว่าครับถ้าเราอยากหมุนกราฟมันจะมีสมการหน้าตาเป็นยังไงกันแน่
โดยถ้าสมมติถ้าว่าเราวาดจุดหมุนหรือจุดศูนย์กลางวงกลมโดยเคลื่อนจุด (x,y) ไปจุด (x',y') โดยผ่านมุม θ ดังภาพ
Transformation I
เราก็จะได้ x',y' ในเทอมของ x,y,θ จากการแก้สมการดังนี้
Solution I
งั้นถ้าเราลองเราเอาไปแทน จะสังเกตได้ว่าตอนเราคำนวณเราให้มุมที่หมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก แต่ว่าเมื่อมุมเป็นค่าบวก กราฟของจะหมุนไปตามเข็มนาฬิกา
Example II
Example III
คำถามคือทำไมถึงเป็นเช่นนั้น ให้สังเกตว่าโดยปกติแค่คู่อันดับ (x,y) คือการที่เราเอาค่าของ x กับค่าของความสัมพันธ์ของ x ไปมาร์คจุดหรือตำแหน่งบนระนาบ XY ใช่ไหมครับ
ซึ่งมันก็เหมือนจะไม่มีอะไร แต่ว่าถ้าเราบอกใหม่ว่ากราฟหรือรูปร่างมันก็อยู่ของมันดี ๆ แล้วเราแค่เอาแกนมาใส่ละครับ จะเกิดอะไรขึ้น?
ใช่ครับ มันก็เหมือนกับว่าตำแหน่งใด ๆ ที่เราได้มันเกิดจากเส้นจำนวนจริง 2 ที่เรากำหนดตำแหน่งจุดกำเนิดไว้ที่ใดที่หนึ่งใช่ไหมครับ
งั้นไอ้ค่า (x',y') หรือ (x,y) มันไม่ได้อยู่ที่กราฟแต่อยู่ที่แกน ดังนั้นจะพูดว่าหมุนกราฟก็ไม่ถูกซ่ะทีเดียว เพราะ นี่คือการหมุนแกน
Expectation I
ดังนั้นถ้าค่ามุมเป็นบวกหรือก็คือถ้าแกนหมุนทวนเข็ม เราก็จะเห็นกราฟหมุนไปตามเข็มนั่นเองครับ
เรื่องเหมือนจะจบแล้วแต่ว่าการเคลื่อนในลักษณะนี้เราเลยมีการนิยามให้ตำแหน่งที่เปลี่ยนไปเป็นการแปลงเชิงเส้น (Linear Transformation) ซึ่งเป็นเนื้อหาใน part ของ Maatrix ครับ
(ซึ่งเป็นประโยชน์ในการคำนวณทางฟิสิกส์ วิศวกรรม หรือแม้กระทั่งวิทยาการคอมพิวเตอร์)
(ไว้เดี๋ยวผมจะหา อารมณ์ มาเพิ่มเติมนะครับ555)
ซึ่งถ้าเรายกนิยามมาและเขียนตำแหน่งใหม่ด้วย Matrix ก็จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้ครับ
Expectation II
แต่ปัญหาต่อมาก็คือเมื่อเราต้องให้จุดหมุนอยู่ในตำแหน่งใด ๆ ถ้าเราแทนตรง ๆ เลยเราว่ากราฟหมุนรอบจุดกำเนิดหรือก็คือหมุนบนวงกลมนั่นเองครับ
(ถ้าอยากเห็นภาพเคลื่อนไหวไปดูที่คลิปหรือลองเล่นเองก็ได้ครับ)
Example IV
เราเลยจะต้องเคลื่อนจุดกำเนิดไปที่จุดที่เราต้องการให้หมุนด้วยครับด้วยครับ เราเลยจะได้สมการหน้าตาใหม่มาเป็นแบบนี้ครับ
Expectation III
ก็จะอยู่ในรูปทั่วไปของการหมุนกราฟแล้วครับ ที่เหลือก็แล้วจะเอาไปประกอบฟังก์ชันเลยครับ
(ก็คงจะเคยเห็นการวาดรูปโดยใช้กราฟใชไหมครับ ครับ ง่าย ๆ ก็จากความรู้ตรงนี้เลย)
ถ้าเราลองไปแทนในสมการพาราโบลาด้วยค่ามุมบางจำนวนก็จะได้บางกรณีที่เราเรียนกันในมัธยมปลายครับ
Parabolar's General and Standard Formular
Parabolar's Equation Examples
งั้นเรากลับมาที่สมการในโพสต์ที่แล้วกันครับ
ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปไฮเปอร์โบลาที่ระยะของแกนขวางและแกนสังยุคมีค่าเท่ากันก็จะได้ดังนี้ครับ
Solution II
(การได้มาซึ่งเลขต่าง ๆ เดี๋ยวผมทำคลิปคิดเลขแยกอีกทีครับ)
Example V
ถ้าเราลองแทนไปตรง ๆ เราจะได้ว่าไม่ใช่แค่กราฟเคลื่อนที่ แต่วงกลมหรือจุดหมุนก็เคลื่อนด้วย ซึ่งอันนี้เป็นสมบัติ (ความฉห.) ของไฮเปอร์โบลาครับ
ในของเรื่อง Conic Section (ภาคตัดกรวย) หรือ Algebra and Geometry จะตามมาในซีรีส์ [มหากาพย์ มหากราฟ] นี้แน่นอนครับ
เราเลยจะได้ว่า ถ้าเราวาดไฮเปอร์โบลาด้วยสมการที่ได้มาแล้วหมุนไปประมาณ 5.5 rad หรือประมาณ 7π/4 rad ก็จะได้กราฟที่ของความสัมพันธ์ที่แปรผกผันกันแล้วครับ
Example VI
ซึ่งเราจะทำ coeffient (สัมประสิทธิ์) หน้า x หน้า y ให้เป็น 1 เพื่อไม่ให้ระนาบเกิด Distortion หรือขนาดของ grid เปลี่ยนไปครับ
(ตรงนี้ผมค่อยพูดถึงตรงคลิป image processing หรือแผนที่โลกนะครับ)
Expectation III
ดังนั้นแล้วนี่ก็คือรูปทั่วไปก็การหมุนกราฟนั่นเองครับ ในส่วนของเนื้อหาเพิ่มเติมจะตามมาแน่นอนครับ เพราะ ผมเกรงว่าถ้าจับยัดใส่โพสต์นี้ทั้งหมด แตกแน่นอนครับ555
แค่นี้นรกไฟลุกพอแล้วครับและผมเองก็ขี้เกียจตัดคลิปด้วยสิครับ555
ยังไงก็ขอขอบคุณที่อ่านมาจนตรงนี้ด้วยนะครับ หากผิดพลาดประการใดก็ขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วยครับ
ฝากติดตามด้วยนะครับ สำหรับโพสต์นี้ก็ขอขอบคุณมากครับ
โฆษณา